Docentenhandleiding: Procentvergelijking

Los elk procentprobleem op met één vergelijking: deel = percentage × geheel. Vind het deel, het geheel of het percentage, ook boven 100% en onder 1%.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Procenten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Zinnen met procenten vertalen naar vergelijkingen, met "is" als = en "van" als ×
Deel = percentage × geheel gebruiken met het percentage als decimaal getal
Het geheel en het percentage berekenen, en het percentage in procenten schrijven
Rekenen met percentages boven 100% en onder 1%
De procentvergelijking vergelijken met de methode van de evenredigheid

Vereisten

• Inleiding tot procenten: procenten omzetten in decimale getallen
• Het percentage van een getal berekenen: een geheel vermenigvuldigen met een percentage
• Vergelijkingen met één stap oplossen, zoals $0{,}25x = 30$
• Procenten met een evenredigheid: $\frac{\text{deel}}{\text{geheel}} = \frac{p}{100}$ (handig voor de vergelijking van methoden)

Discussiestarters

1. Welk getal is in "30 is 25% van welk getal?" het deel en welk getal ontbreekt? Hoe weet je dat?
2. Kan 150% van een getal kleiner zijn dan het getal zelf? Waarom wel of niet?
3. Waarom is 0,4% niet hetzelfde als 0,4? Wat zou er misgaan in een berekening?
4. Je hebt hetzelfde probleem opgelost met een vergelijking en met een evenredigheid. Wat was makkelijker en waarom?
5. Wanneer ken je in het echte leven het deel en het percentage, maar niet het geheel?

Veelvoorkomende misvattingen

Het grootste getal is altijd het geheel

Herstel: Laat "42 is 150% van welk getal?" zien: het deel 42 is groter dan het geheel 28. Leer leerlingen het geheel te herkennen aan het woord "van", niet aan de grootte.

Het percentage mag in de vergelijking als procentgetal blijven staan (25 in plaats van 0,25)

Herstel: Los samen $30 = 25x$ op en krijg $x = 1{,}2$ . Vraag of 30 echt 25% van 1,2 kan zijn. Los daarna $30 = 0{,}25x$ op en controleer met $0{,}25 \times 120 = 30$ .

Een percentage onder 1% is hetzelfde als een decimaal getal onder 1

Herstel: Schrijf $40\%$ , $4\%$ , $0{,}4\%$ onder elkaar en deel elk door 100: $0{,}4$ , $0{,}04$ , $0{,}004$ . Koppel het aan geld: 0,4% van 1000 € is maar 4 €.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef een sjabloon "___ is ___% van ___"; leerlingen vullen twee getallen in en markeren de onbekende
• Begin met makkelijke percentages (10%, 25%, 50%) voor percentages zoals 35% of 0,4%
• Laat leerlingen elk antwoord controleren door het in deel = percentage × geheel in te vullen

Voor leerlingen op niveau:

• Meng in één serie opgaven die vragen naar het deel, het geheel of het percentage
• Voeg contextopgaven toe over aanbetalingen, toetsscores en rente
• Los twee opgaven op met de vergelijking en met de evenredigheid en vergelijk

Voor gevorderde leerlingen:

• Werk met percentages zoals 0,25% en 260% en leg uit wat ze betekenen
• Schrijf voor elke onbekende grootheid een eigen procentsom
• Vind het geheel als het deel een prijs na een verhoging is, bijvoorbeeld 72 is 120% van de prijs van vorig jaar

Standaarduitlijning

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Evenredige verbanden gebruiken om meerstaps verhoudings- en procentproblemen op te lossen
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Een percentage van een hoeveelheid vinden als deel per 100; het geheel vinden uit een deel en het percentage
7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)
Contextproblemen oplossen die leiden tot vergelijkingen van de vorm px + q = r en p(x + q) = r

Lesbronnen

visualVergelijkingen stap voor stap oplossen
Leerlingen lossen procentvergelijkingen zoals $0{,}25x = 30$ stap voor stap op
visualStrookmodel voor procenten
Een strook verdeeld in 25% en 75% laat zien hoe een deel van 30 bij een geheel van 120 hoort
activityVertaal de zin
Kaartjes met procentzinnen; leerlingen omcirkelen "is" en "van" en schrijven de bijbehorende vergelijking
worksheetVind het ontbrekende stuk
Een tabel met deel, percentage en geheel waarin per rij één waarde ontbreekt, ook met percentages boven 100% en onder 1%

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De procentvergelijking verbindt drie grootheden met één vermenigvuldiging:

\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}

Het geheel is het totaal waarvan je een percentage neemt (100%).
Het percentage schrijf je als decimaal getal: $25\% = 0{,}25$ , $150\% = 1{,}5$ , $0{,}4\% = 0{,}004$ .
Het deel is de hoeveelheid die het percentage beschrijft.

Woorden vertalen naar de vergelijking:

"is" wordt $=$
"van" wordt $\times$
"welk getal" of "hoeveel procent" wordt de onbekende $x$

Dus "30 is 25% van welk getal?" wordt

30 = 0{,}25x

Als je twee van de drie grootheden kent, kun je altijd de derde vinden:

deel: vermenigvuldig, $\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}$
geheel: deel, $\text{geheel} = \text{deel} \div \text{percentage}$
percentage: deel, $\text{percentage} = \text{deel} \div \text{geheel}$ , en vermenigvuldig daarna met 100 om het in procenten te schrijven

Uitgewerkte voorbeelden

Welk getal is 35% van 80?

Vertaal de woorden

"Welk getal" is $x$ , "is" is $=$ , "van" is $\times$ → $x = 35\% \times 80$

Schrijf het percentage als decimaal getal

$35\% = 35 \div 100 = 0{,}35$ → $x = 0{,}35 \times 80$

Vermenigvuldig

$0{,}35 \times 80 = 28$ → $x = 28$

Antwoord: 28 is 35% van 80.

Veelgemaakte fouten

Het procentgetal gebruiken in plaats van het decimale getal: $30 = 25x$ schrijven en $x = 1{,}2$ krijgen

Waarom het fout is: Het percentage in de vergelijking moet een decimaal getal zijn. 25% betekent 25 per honderd, dus $0{,}25$ , niet $25$ .

Correct: Deel het percentage eerst door 100: $30 = 0{,}25x$ , dus $x = 120$ .

Deel en geheel verwisselen: bij "30 is 25% van welk getal?" $0{,}25 \times 30 = 7{,}5$ uitrekenen

Waarom het fout is: Het getal na "van" is het geheel. Hier is het geheel onbekend en is 30 het deel, dus 30 staat links van het isgelijkteken.

Correct: Vertaal woord voor woord: $30 = 0{,}25 \times x$ , dus $x = 120$ .

Vergeten met 100 te vermenigvuldigen bij het percentage: "0,4%" antwoorden op "18 is hoeveel procent van 45?"

Waarom het fout is: Deel gedeeld door geheel geeft het percentage als decimaal getal ( $0{,}4$ ). In procenten is dat dit getal keer 100.

Correct: $18 \div 45 = 0{,}4$ en $0{,}4 \times 100 = 40$ , dus het antwoord is $40\%$ .

Een klein percentage met het verkeerde decimale getal schrijven: $0{,}4\% = 0{,}04$ of $0{,}4\% = 0{,}4$

Waarom het fout is: Elk percentage deel je door 100, ook kleine. Schuif de komma twee plaatsen naar links: $0{,}4 \to 0{,}004$ .

Correct: $0{,}4\% = 0{,}004$ , dus 0,4% van 500 is $0{,}004 \times 500 = 2$ .

Waarom het belangrijk is

In de les "Het percentage van een getal berekenen" kende je altijd het geheel en het percentage. Echte problemen verstoppen vaak een andere onbekende:

Winkelen: je betaalt een aanbetaling van 45 €, dat is 15% van de prijs. Wat is de volledige prijs? (het geheel ontbreekt)
Cijfers: je haalt 34 van de 40 punten. Hoeveel procent is dat? (het percentage ontbreekt)
Sparen: een rekening geeft 0,8% rente per jaar. Hoeveel moet je sparen om 36 € te verdienen? (een percentage onder 1%)
Groei: een stad heeft nu 260% van haar vroegere aantal inwoners. (een percentage boven 100%)

De procentvergelijking lost dit allemaal op met dezelfde korte regel,

\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}

, en het vergelijkingen oplossen dat je al kent.

Toepassingen in de echte wereld

Een aanbetaling doen

Winkels vragen vaak een aanbetaling die een percentage van de volledige prijs is. De aanbetaling is het deel, de volledige prijs is het geheel dat je soms moet vinden.

Voorbeeld:

Een aanbetaling van 60 € die 20% van de prijs is, geeft $60 = 0{,}2x$ , dus de prijs is $60 \div 0{,}2 = 300$ €.

1Probeer het zelf

Mia betaalt een aanbetaling van 45 € voor een fiets. De aanbetaling is 15% van de volledige prijs.

Wat is de volledige prijs van de fiets in euro?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel het deel door het percentage:

Toetsscores en vrije worpen

Docenten en trainers maken van "zoveel van de zoveel" een percentage. Hier is het percentage de onbekende.

Voorbeeld:

Een basketbalspeelster scoort 34 van de 40 vrije worpen: $34 = r \times 40$ , $r = 0{,}85$ , dus ze scoort $85\%$ van haar worpen.

2Probeer het zelf

Op een toets van 80 punten haalt Leo 68 punten.

Hoeveel procent van de punten heeft Leo gehaald? Geef het getal zonder %-teken.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel het deel door het geheel en vermenigvuldig met 100:

Spaarrente onder 1%

Spaarrekeningen geven vaak minder dan 1% rente per jaar. De rente is het deel, het geld op de rekening is het geheel.

Voorbeeld:

Bij 0,5% rente levert 2400 € in één jaar $0{,}005 \times 2400 = 12$ € op.

3Probeer het zelf

Een spaarrekening geeft 0,8% rente per jaar. Na één jaar heeft Sara 36 € rente gekregen.

Hoeveel euro stond er op Sara's rekening?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel de rente door het percentage als decimaal getal:

Belangrijke punten

1De procentvergelijking is $\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}$ , met het percentage als decimaal getal
2Vertaal woord voor woord: "is" wordt $=$ , "van" wordt $\times$ , "welk getal" wordt de onbekende
3Om het geheel te vinden deel je: $\text{geheel} = \text{deel} \div \text{percentage}$
4Om het percentage te vinden deel je het deel door het geheel en vermenigvuldig je met 100
5Boven 100% is het percentage als decimaal groter dan 1 ( $150\% = 1{,}5$ ) en is het deel groter dan het geheel; onder 1% begint het decimale getal met $0{,}00$ ( $0{,}4\% = 0{,}004$ )
6De vergelijking en de evenredigheid $\frac{\text{deel}}{\text{geheel}} = \frac{p}{100}$ geven altijd hetzelfde antwoord

Veelgestelde vragen

Gebruik ik de procentvergelijking of de evenredigheid?

Beide geven altijd hetzelfde antwoord. De vergelijking

\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}

is korter als je het percentage makkelijk als decimaal getal schrijft. De evenredigheid

\frac{\text{deel}}{\text{geheel}} = \frac{p}{100}

(les "Procenten met een evenredigheid") laat het percentage als heel getal staan en voelt bij lastige decimalen vaak veiliger. Kies de methode die jij het duidelijkst vindt.

Kan het deel groter zijn dan het geheel?

Ja, als het percentage boven 100% ligt. Zo is 150% van 28 gelijk aan 42, en dat is groter dan 28. Bij groei, prijzen en inwonersaantallen komt dat vaak voor.

Hoe weet ik welk getal het geheel is?

Let op het woord "van": het geheel staat meestal direct daarna. In "18 is hoeveel procent van 45" is 45 het geheel. Het getal bij "is" is meestal het deel.

Waarom vermenigvuldig ik aan het eind met 100 als ik een percentage zoek?

Deel gedeeld door geheel geeft het percentage als decimaal getal, bijvoorbeeld

0{,}4

. Procent betekent "per honderd", dus

0{,}4 = \frac{40}{100} = 40\%

Woordenlijst

Procentvergelijking: De vergelijking $\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}$ die een percentage met twee hoeveelheden verbindt.
Geheel: Het totaal waarvan je een percentage neemt; het staat voor 100%. Meestal staat het na het woord "van".
Deel: De hoeveelheid die gelijk is aan een percentage van het geheel.
Percentage (als decimaal): Het percentage geschreven als decimaal getal, bijvoorbeeld $35\% = 0{,}35$ .
Onbekende: De ontbrekende grootheid in de vergelijking, geschreven met een letter zoals $x$ of $r$ .

Formulekaart

Procentvergelijking

\text{deel} = \text{percentage} \times \text{geheel}

Hiermee vind je het deel: vermenigvuldig het percentage (als decimaal getal) met het geheel.

Het geheel vinden

\text{geheel} = \text{deel} \div \text{percentage}

Deel het deel door het percentage als decimaal getal, bijvoorbeeld $30 \div 0{,}25 = 120$.

Het percentage vinden

\text{percentage} = \text{deel} \div \text{geheel}

Deel het deel door het geheel en vermenigvuldig daarna met 100 om het in procenten te krijgen.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Procentvergelijking

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Een aanbetaling doen

Toetsscores en vrije worpen

Spaarrente onder 1%

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Procentvergelijking

Het geheel vinden

Het percentage vinden

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot procenten

Het percentage van een getal berekenen

Procentuele toename en afname

Procenten met een evenredigheid