Terug naar les

Docentenhandleiding: Buitenhoeken van veelhoeken

Leer wat buitenhoeken zijn, hoe je ze berekent, en ontdek waarom ze altijd optellen tot 360 graden.

Les presenterenDelen in ClassroomStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Polygonen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Buitenhoeken definiëren en identificeren in veelhoeken
  • De relatie tussen binnen- en buitenhoeken toepassen
  • De stelling over de som van buitenhoeken gebruiken om problemen op te lossen
  • Individuele buitenhoeken van regelmatige veelhoeken berekenen
  • Het aantal zijden van een veelhoek bepalen gegeven zijn buitenhoek
Vereisten
  • • Begrip van binnenhoeken van veelhoeken
  • • Kennis van de formule voor de som van binnenhoeken: (n−2)×180°(n-2) \times 180°
  • • Bekendheid met supplementaire hoeken
  • • Basisbegrip van regelmatige veelhoeken
Discussiestarters
  • 1. Als je rond een veelhoek loopt en bij elke hoek draait, waarom kijk je uiteindelijk weer in je oorspronkelijke richting?
  • 2. Hoe zou een drone buitenhoeken kunnen gebruiken om een patrouillevlucht rond een gebouw te maken?
  • 3. Waarom is het makkelijker om buitenhoeken te gebruiken dan binnenhoeken om het aantal zijden van een regelmatige veelhoek te vinden?
  • 4. Wat gebeurt er met buitenhoeken als een veelhoek steeds meer zijden krijgt?
Veelvoorkomende misvattingen

Buitenhoeken worden kleiner voor veelhoeken met meer zijden, dus de som moet ook kleiner worden

Herstel: Gebruik concrete voorbeelden: een driehoek heeft drie hoeken van 120°120° (360°360° totaal), een zeshoek heeft zes hoeken van 60°60° (360°360° totaal). Meer hoeken, elk kleiner, dezelfde som!

De buitenhoek ligt buiten de veelhoek, dus moet groter zijn dan de binnenhoek

Herstel: Laat een driehoek zien met binnenhoeken van 50°50°, 60°60°, 70°70° en buitenhoeken van 130°130°, 120°120°, 110°110°. Laat dan een zeshoek zien met binnenhoeken van 120°120° maar buitenhoeken van slechts 60°60°.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Geef veelhoekuitknipsels zodat leerlingen fysiek zijden kunnen verlengen
  • • Concentreer je aanvankelijk alleen op regelmatige veelhoeken
  • • Gebruik een visuele getallenlijn van 0°0° tot 180°180° om binnen/buitenparen te tonen

Voor leerlingen op niveau:

  • • Bereken buitenhoeken voor verschillende regelmatige en onregelmatige veelhoeken
  • • Werk achteruit van buitenhoeken om het aantal zijden te vinden
  • • Los problemen op die informatie over binnen- en buitenhoeken combineren

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Verken waarom de som 360°360° is met het draaiende schildpadargument
  • • Onderzoek buitenhoeken van concave veelhoeken
  • • Creëer bewijzen die de sommen van buiten- en binnenhoeken verbinden
Standaarduitlijning
  • 8.G.A.5 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.A.5)

    Informele argumenten gebruiken om feiten vast te stellen over de hoeksom en buitenhoek van driehoeken

  • HSG.CO.C.10 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.C.10)

    Stellingen over driehoeken bewijzen, inclusief maten van binnen- en buitenhoeken

Lesbronnen
  • visualInteractieve veelhoekverkenner

    Leerlingen verlengen zijden om te zien hoe buitenhoeken worden gevormd

  • activityRondlopen om de veelhoek

    Fysieke activiteit waarbij leerlingen rond een veelhoekige vorm lopen en hun draaien tellen

  • worksheetBuitenhoekberekeningen

    Oefenopdrachten van het vinden van enkele hoeken tot het bepalen van het aantal zijden

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een buitenhoek van een veelhoek wordt gevormd wanneer een zijde van de veelhoek wordt verlengd. Het is de hoek tussen deze verlengde zijde en de aangrenzende zijde van de veelhoek.
Voor elke veelhoek geldt:
  • Een buitenhoek en zijn aangrenzende binnenhoek zijn supplementair (ze tellen op tot 180°180°)
  • Als de binnenhoek α\alpha is, dan is de buitenhoek 180°−α180° - \alpha
De stelling over de som van buitenhoeken:
Som van alle buitenhoeken=360°\text{Som van alle buitenhoeken} = 360°
Dit geldt voor elke convexe veelhoek, ongeacht het aantal zijden!
Voor een regelmatige veelhoek met nn zijden:
Elke buitenhoek=360°n\text{Elke buitenhoek} = \frac{360°}{n}

Uitgewerkte voorbeelden

Een driehoek heeft binnenhoeken van 50°50°, 60°60° en 70°70°. Vind alle drie de buitenhoeken.
1

Gebruik de supplementaire relatie

Buitenhoek =180°−= 180° - Binnenhoek → Formule geïdentificeerd
2

Vind de buitenhoek bij het 50°50° hoekpunt

180°−50°=130°180° - 50° = 130°
3

Vind de buitenhoek bij het 60°60° hoekpunt

180°−60°=120°180° - 60° = 120°
4

Vind de buitenhoek bij het 70°70° hoekpunt

180°−70°=110°180° - 70° = 110°
5

Controleer de som

130°+120°+110°=360°130° + 120° + 110° = 360° → Bevestigd!

Veelgemaakte fouten

Binnen- en buitenhoeken verwarren

Waarom het fout is: Leerlingen berekenen soms binnenhoeken wanneer buitenhoeken worden gevraagd, of andersom.

Correct: Onthoud: buitenhoeken worden gevormd door een zijde te verlengen BUITEN de veelhoek. Binnen + Buiten = 180°180° bij elk hoekpunt.

Denken dat de som van buitenhoeken afhangt van het aantal zijden

Waarom het fout is: Omdat de som van binnenhoeken verandert met het aantal zijden, nemen leerlingen aan dat dit ook geldt voor buitenhoeken.

Correct: De som van buitenhoeken is ALTIJD 360°360° voor elke convexe veelhoek, ongeacht het aantal zijden.

Vergeten om slechts één zijde te verlengen bij elk hoekpunt

Waarom het fout is: Bij elk hoekpunt kun je beide zijden verlengen, maar je telt slechts één buitenhoek per hoekpunt.

Correct: Kies één zijde om te verlengen bij elk hoekpunt. Elk hoekpunt draagt precies één buitenhoek bij aan de som.

Waarom het belangrijk is

Buitenhoeken zijn ongelooflijk nuttig in de meetkunde en praktische toepassingen:
  • Navigatie: Piloten en zeelieden gebruiken buitenhoeken bij het berekenen van bochten. Een bocht van 90 graden is een buitenhoek van een vierkante route.
  • Architectuur: Het ontwerpen van gebouwen met hoekige gevels vereist begrip van buitenhoeken.
  • Robotica: Het programmeren van een robot om een veelhoekig pad te volgen gebruikt buitenhoekberekeningen.
  • Sport: De hoeken waaronder een biljartbal stuitert zijn gerelateerd aan buitenhoeken.
Het mooie feit dat buitenhoeken altijd optellen tot 360 graden biedt een krachtige snelkoppeling voor het oplossen van veel meetkundeproblemen!

Toepassingen in de echte wereld

Robotnavigatie

Bij het programmeren van een robot om een veelhoekig pad te volgen, moet hij bij elk hoekpunt draaien. De draaihoek is gelijk aan de buitenhoek!

Voorbeeld:

Een robot die een regelmatige vijfhoek volgt, draait 360°5=72°\frac{360°}{5} = 72° bij elke hoek. Na 5 bochten is hij in totaal 360°360° gedraaid en kijkt hij weer in zijn oorspronkelijke richting.

1Probeer het zelf

Een bezorgrobot moet een pad in de vorm van een regelmatige achthoek rond een gebouw volgen.

Hoeveel graden moet hij bij elke hoek draaien?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: 360°8\frac{360°}{8}

Schotelantenne-installatie

Installateurs van schotelantennes gebruiken hoekmetingen om schotels correct te richten. Het begrijpen van buitenhoeken helpt bij het berekenen van montageposities.

Voorbeeld:

Als een schotelantenne moet wijzen naar een hoek die een binnenhoek van 150°150° maakt met het dak, is de buitenhoek (vanaf de grondref) 180°−150°=30°180° - 150° = 30°.

2Probeer het zelf

Een gebouw heeft een vijfhoekig dak. Een schotelantenne bij een hoekpunt maakt een binnenhoek van 108°108° met de dakrand.

Wat is de buitenhoek bij dit hoekpunt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: 180°−108°180° - 108°

Belangrijke punten

  • 1Een buitenhoek wordt gevormd door een zijde van een veelhoek voorbij een hoekpunt te verlengen
  • 2Binnenhoek + Buitenhoek = 180°180° (supplementair)
  • 3De som van alle buitenhoeken van elke convexe veelhoek is 360°360°
  • 4Voor een regelmatige veelhoek met nn zijden: elke buitenhoek = 360°n\frac{360°}{n}
  • 5Om het aantal zijden te vinden: n=360°buitenhoekn = \frac{360°}{\text{buitenhoek}}

Veelgestelde vragen

Waarom tellen buitenhoeken altijd op tot 360 graden?

Stel je voor dat je rond de veelhoek loopt en bij elk hoekpunt draait. Elke draai is een buitenhoek. Wanneer je terugkeert naar je startpunt en dezelfde kant opkijkt, heb je een volledige cirkel gedraaid: 360°360°!

Werkt dit voor concave (niet-convexe) veelhoeken?

De 360°360°-regel geldt voor convexe veelhoeken. Voor concave veelhoeken worden sommige buitenhoeken anders gemeten (ze kunnen negatief zijn in sommige conventies), maar het concept is nog steeds van toepassing met de juiste definities.

Wat is de kleinst mogelijke buitenhoek?

Voor een regelmatige veelhoek nadert de buitenhoek 0°0° als het aantal zijden naar oneindig gaat (zoals een cirkel). De grootste is 120°120° voor een gelijkzijdige driehoek.

Woordenlijst

Buitenhoek
De hoek gevormd tussen een zijde van een veelhoek en de verlenging van een aangrenzende zijde, gemeten buiten de veelhoek.
Binnenhoek
De hoek binnen een veelhoek bij een hoekpunt, gevormd door twee aangrenzende zijden.
Supplementaire hoeken
Twee hoeken die optellen tot 180°180°.
Convexe veelhoek
Een veelhoek waarbij alle binnenhoeken kleiner zijn dan 180°180° en alle hoekpunten naar buiten wijzen.
Regelmatige veelhoek
Een veelhoek waarbij alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot.

Meer over dit onderwerp

Introductie tot veelhoeken

Basis20 min

Diagonalen van veelhoeken

Gemiddeld25 min

Polygonen classificeren

Basis20 min

Formule voor de hoeksom van veelhoeken

Gemiddeld25 min