Docentenhandleiding: Logische puzzels

Los logische puzzels stap voor stap op met het rooster, uitsluiten, gevallen onderscheiden, ridders en schurken, volgordehints, getallenhints en rivieroversteken.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De hints van een puzzel ordenen in een logisch rooster en dat invullen met ✓ en ✗
Met uitsluiten en gevallen onderscheiden tot één enkele oplossing komen
Puzzels met ridders en schurken oplossen door voor elke spreker beide gevallen te testen
Volgorde- en getallenpuzzels oplossen door kandidaten op te schrijven en te testen
Het kleinste aantal oversteken bij rivierpuzzels vinden en uitleggen waarom minder onmogelijk is

Vereisten

• Deductief redeneren: conclusies die noodzakelijk uit de premissen volgen (les Deductief redeneren)
• Als-dan-beweringen en wanneer een bewering waar of onwaar is (les Als-dan-beweringen)
• Het verschil tussen bewijzen en gokken (les Introductie tot logisch redeneren)
• Rekenen met hele getallen: sommen, verschillen en producten

Discussiestarters

1. Hoe weet je dat een logische puzzel af is, en hoe weet je zeker dat er geen tweede antwoord is?
2. Is een geval uitproberen hetzelfde als gokken? Wanneer is het een goed idee?
3. Waarom kan niemand op het eiland van de ridders en schurken zeggen "Ik ben een schurk"?
4. Waar in het echte leven lossen mensen roosterpuzzels op zonder ze zo te noemen?

Veelvoorkomende misvattingen

Als een indeling bij de hints past, moet het het antwoord zijn

Herstel: Laat leerlingen proberen een tweede indeling te maken. Laat een puzzel zien waarin een hint ontbreekt en die twee oplossingen heeft, voeg dan de hint toe en kijk hoe één oplossing verdwijnt.

Bij ridders en schurken is wat mensen zeggen meestal waar

Herstel: Speel een rollenspel met verborgen ridder- en schurkkaarten, en vraag voor elke spreker een geschreven controle van beide gevallen (ridder, schurk).

Een hint die niet direct een persoon noemt, is nutteloos

Herstel: Laat zien hoe "de hond is niet van Lena" net zo goed een ✗ oplevert als een directe hint, en hoe ✗ daarna tot ✓ leiden.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met roosters van 2 bij 2 en maar twee hints
• Uitgeknipte kaartjes geven die ze kunnen verschuiven in plaats van in het rooster te schrijven
• Elke hint eerst in eigen woorden laten herhalen voordat ze hem gebruiken

Voor leerlingen op niveau:

• Roosterpuzzels van 3 bij 3 oplossen en bij elke ✓ één zin uitleg schrijven
• Puzzels met twee sprekers op het eiland van de ridders en schurken oplossen met een tabel met twee gevallen
• Het aantal oversteken tellen voor 4, 5 en 6 personen met een boot voor 2

Voor gevorderde leerlingen:

• Zelf een puzzel van 3 bij 3 maken en bewijzen dat die precies één oplossing heeft
• Puzzels met drie sprekers op het eiland van de ridders en schurken oplossen
• Uitleggen waarom n personen met een boot voor 2 minstens 2n - 3 oversteken nodig hebben

Standaarduitlijning

MP1 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP1)
Problemen begrijpen en volhouden bij het oplossen
MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Sterke argumenten opbouwen en de redenering van anderen beoordelen
MP7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Structuur zoeken en gebruiken

Lesbronnen

worksheetLogische roosters om te printen
Lege roosters van 3 bij 3 en 4 bij 4 met bijpassende puzzels, van twee tot vijf hints
activityDe menselijke rij
Vijf leerlingen krijgen geheime volgordehints en moeten zich in een rij opstellen zonder over iets anders te praten dan de hints
gameRollenspel ridders en schurken
Leerlingen trekken in het geheim een ridder- of schurkkaart, iedereen doet één uitspraak, en de klas zoekt uit wie wie is

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een logische puzzel geeft je een paar hints en vraagt je de ene indeling te vinden die bij allemaal past: wie welk huisdier heeft, wie waar in een rij staat, aan welk getal iemand denkt. Een goed gemaakte puzzel heeft precies één oplossing, en die vind je alleen door te redeneren, zonder te gokken.

De roostermethode. Als je twee groepen aan elkaar koppelt (bijvoorbeeld personen en sporten), teken je een tabel met één rij per persoon en één kolom per ding. Zet ✗ in elk vakje dat een hint uitsluit en ✓ in het vakje dat waar moet zijn. In het ingevulde rooster heeft elke rij en elke kolom precies één ✓.

Hints: Ana doet geen balsport. Ben speelt geen tennis.

	Voetbal	Tennis	Zwemmen
Ana	✗	✗	✓
Ben	✓	✗	✗
Cleo	✗	✓	✗

Ana krijgt ✗ bij voetbal en tennis, dus ✓ bij zwemmen. Zwemmen is bezet en Ben speelt geen tennis, dus Ben ✓ voetbal, en Cleo ✓ tennis.

Andere strategieën die je in deze les gebruikt:

Uitsluiten: streep weg wat onmogelijk is tot er maar één mogelijkheid over is
Gevallen onderscheiden: neem één mogelijkheid aan, volg die tot het einde en laat haar vallen als ze tot een tegenspraak leidt
Ridders en schurken: ridders spreken altijd de waarheid, schurken liegen altijd, dus test je voor elke spreker beide gevallen
Volgordepuzzels: teken de rij of de straat met huizen en zet eerst de mensen met een vaste plaats neer
Getallenpuzzels: maak van hints over som en product een korte lijst kandidaten en test ze een voor een
Oversteekpuzzels: tel elke enkele tocht en zoek de zet die je niet kunt vermijden

Uitgewerkte voorbeelden

Lena, Marco en Nina hebben elk een ander huisdier: een kat, een hond of een papegaai. Hint 1: Marco is allergisch voor dieren met een vacht. Hint 2: Lena heeft de hond niet. Wie heeft welk huisdier?

Teken een $3 \times 3$ -rooster

Rijen: Lena, Marco, Nina. Kolommen: kat, hond, papegaai. Dat zijn $3 \times 3 = 9$ vakjes, en elke rij en elke kolom krijgt precies één ✓. → Een leeg rooster met 9 vakjes

Gebruik hint 1

Katten en honden hebben een vacht, dus zet ✗ in Marco's vakje bij kat en bij hond. In zijn rij blijft alleen de papegaai over. → Marco ✓ papegaai

Maak de kolom papegaai af

Maar één persoon heeft de papegaai, dus zet ✗ voor Lena en voor Nina in de kolom papegaai. → Lena en Nina: ✗ papegaai

Gebruik hint 2

Lena heeft nu ✗ bij de hond en ✗ bij de papegaai, dus in haar rij blijft alleen de kat over. → Lena ✓ kat

Vul het laatste vakje in

In Nina's rij blijft alleen de hond over, en de kolom hond heeft nog geen ✓. → Nina ✓ hond

Antwoord: Lena heeft de kat, Marco de papegaai en Nina de hond. Controle: de papegaai heeft geen vacht, en Lena heeft de hond niet, dus beide hints kloppen.

Veelgemaakte fouten

Een ✓ in het rooster zetten maar de rest van die rij en kolom niet wegstrepen

Waarom het fout is: Elke persoon heeft precies één ding en elk ding heeft precies één eigenaar. Ontbrekende ✗ verbergen de volgende conclusie.

Correct: Elke keer dat je een ✓ zet, zet je meteen ✗ in alle andere vakjes van die rij en die kolom.

"Direct achter" lezen als "ergens achter"

Waarom het fout is: "Dan staat direct achter Ben" betekent twee plaatsen naast elkaar, terwijl "Ana staat ergens voor Eva" een gat toelaat. Wie die verwart, krijgt foute of extra oplossingen.

Correct: Onderstreep woorden als direct, naast, ergens, niet en alleen, en gebruik elke hint precies zoals hij er staat.

Geloven wat iemand zegt in een puzzel met ridders en schurken

Waarom het fout is: De uitspraak kan van een schurk komen. Wie haar als waar aanneemt, kijkt maar naar een van de twee gevallen.

Correct: Test voor elke spreker beide gevallen: ridder (de uitspraak is waar) en schurk (de uitspraak is onwaar). Houd alleen het geval zonder tegenspraak over.

Heen-en-terugtochten tellen in plaats van oversteken

Waarom het fout is: Een heen-en-terugtocht is twee oversteken. Wie de oplossing met de wolf, de geit en de kool telt als $3$ heen-en-terugtochten plus een laatste tocht, zegt $4$ in plaats van $7$ .

Correct: Tel elke enkele tocht apart, en lees goed wat de vraag precies vraagt.

Waarom het belangrijk is

Logische puzzels trainen de manier van denken die je overal in de wiskunde en ver daarbuiten gebruikt:

Bewijzen: gevallen onderscheiden en een bewijs uit het ongerijmde zijn dezelfde zetten die wiskundigen in de meetkunde en de getaltheorie gebruiken
Informatica: programmeurs vinden fouten door oorzaken een voor een uit te sluiten, en planningssoftware lost enorme roosterpuzzels op
Dagelijkse planning: toetsen, wedstrijden of werkdiensten in een rooster passen is een roosterpuzzel met echte hints
Spellen en wedstrijden: sudoku, KenKen en opgaven van de wiskundeolympiade belonen allemaal hetzelfde zorgvuldige redeneren

Het nuttigste wat je meeneemt is een gewoonte: schrijf op wat je weet, sluit uit wat onmogelijk is en controleer of je antwoord bij elke hint past.

Toepassingen in de echte wereld

Roosters en planning

Scholen, sportcompetities en luchtvaartmaatschappijen maken hun roosters door enorme roosterpuzzels op te lossen: elke gebeurtenis heeft precies één tijdstip nodig, en de regels zijn de hints.

Voorbeeld:

Een school met $3$ toetsen en $3$ toetsdagen vult een $3 \times 3$ -rooster in, precies zoals bij het koppelen van personen en huisdieren.

1Probeer het zelf

Drie toetsen, wiskunde, geschiedenis en tekenen, zijn op de dagen $1$ , $2$ en $3$ , één toets per dag. Wiskunde is niet op dag $1$ . Tekenen is op de dag direct na wiskunde.

Op welke dag is elke toets?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Wiskunde kan alleen op dag $2$ zijn (tekenen heeft een dag erna nodig), en tekenen is één dag na wiskunde. Schrijf de dag van tekenen als een optelling:

Een valse munt vinden

Kwaliteitscontrole en speurwerk gebruiken hetzelfde idee als logische puzzels: verdeel de mogelijkheden in groepen en sluit hele groepen tegelijk uit.

Voorbeeld:

Met een balans vertelt één weging van $3$ munten tegen $3$ munten je in welke van drie groepen een lichtere valse munt zit.

2Probeer het zelf

Je hebt $9$ munten die er hetzelfde uitzien, maar één ervan is vals en lichter dan de andere. Je hebt een balans en geen gewichten.

Wat is het kleinste aantal wegingen waarmee je de valse munt altijd vindt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Elke weging deelt het aantal verdachte munten door $3$ . Schrijf dat op, beginnend bij $9$ munten:

Een veerpont plannen

Oversteekpuzzels zijn echt werk voor wie veerponten en pendelbussen regelt: die tellen elke enkele tocht, want elke tocht kost brandstof en tijd.

Voorbeeld:

Een boot die terug moet voor meer passagiers maakt $2$ oversteken per heen-en-terugtocht, plus één laatste oversteek zonder terugweg.

3Probeer het zelf

Een kleine veerpont neemt per tocht hoogstens $3$ auto's mee. Op één oever wachten $8$ auto's, en daar vertrekt de pont ook. Aan het einde hoeft hij niet terug.

Wat is het kleinste aantal oversteken dat nodig is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel de tochten met auto's en de lege terugtochten op:

Belangrijke punten

1Een logische puzzel heeft hints en precies één oplossing die bij allemaal past, en die vind je door te redeneren in plaats van te gokken
2Roostermethode: één rij per persoon, één kolom per ding; ✓ markeert een feit, ✗ sluit een vakje uit, en aan het einde heeft elke rij en elke kolom precies één ✓
3Uitsluiten: als alle mogelijkheden op één na zijn weggestreept, moet de laatste waar zijn
4Gevallen onderscheiden: neem één mogelijkheid aan en volg die; een tegenspraak betekent dat dat geval onmogelijk is
5Ridders spreken altijd de waarheid en schurken liegen altijd, dus test je elke spreker in beide rollen en houd je het geval zonder tegenspraak over
6Tel bij oversteekpuzzels elke enkele tocht; $n$ personen met een boot voor 2 hebben $2n - 3$ oversteken nodig

Veelgestelde vragen

Wat als ik twee antwoorden vind die bij alle hints passen?

Dan is er een hint verkeerd gelezen, of de puzzel is slecht gemaakt. Een goede puzzel heeft precies één oplossing. Lees elke hint opnieuw, vooral woorden als direct, niet en alleen, en test beide antwoorden nog eens met elke hint.

Waar moet ik beginnen?

Begin met een hint die een vast feit geeft ("Cleo staat op plaats

3

") of die de meeste mogelijkheden uitsluit. Vaste feiten vullen het rooster het snelst, en elke nieuwe ✓ levert weer nieuwe ✗ op.

Is gevallen onderscheiden niet gewoon gokken?

Nee. Een gok houd je zonder te controleren. Bij gevallen onderscheiden volg je elk geval tot het einde en gooi je elk geval weg dat tot een tegenspraak leidt. Blijft er maar één geval over, dan heb je bewezen dat dat het antwoord is.

Waarom kan niemand op het eiland zeggen "Ik ben een schurk"?

Een ridder die dat zegt, zou liegen, en ridders liegen nooit. Een schurk die dat zegt, zou de waarheid spreken, en dat doen schurken nooit. Die zin is dus voor iedereen op het eiland onmogelijk.

Woordenlijst

Hint: Een stukje informatie in een puzzel dat bepaalde indelingen toelaat of uitsluit
Logisch rooster: Een tabel met één rij per persoon en één kolom per ding, ingevuld met ✓ en ✗
Uitsluitingsmethode: Onmogelijke mogelijkheden wegstrepen tot er maar één over is
Gevalsonderscheiding: Een probleem opsplitsen in alle mogelijke gevallen en elk geval apart controleren
Tegenspraak: Twee feiten die niet allebei waar kunnen zijn; als je er een vindt, was een aanname fout
Ridder en schurk: Puzzelfiguren: een ridder spreekt altijd de waarheid, een schurk liegt altijd

Formulekaart

Roosterregel

3 \times 3 = 9

vakjes, precies

3

daarvan met ✓

Elke rij en elke kolom heeft precies één ✓; een ✓ maakt de rest van zijn rij en kolom ✗

Gevallen onderscheiden

\text{geval} \Rightarrow \text{tegenspraak}

, dus het geval is onmogelijk

Probeer elk geval en houd alleen het geval over dat bij alle hints past

Oversteken met een boot voor 2

2n - 3

Voor $n \ge 2$ personen als er elke keer iemand terug moet roeien; bijvoorbeeld $5$ personen hebben $7$ oversteken nodig

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Logische puzzels

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Roosters en planning

Een valse munt vinden

Een veerpont plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Roosterregel

Gevallen onderscheiden

Oversteken met een boot voor 2

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse