Docentenhandleiding: Veelvoorkomende drogredenen

Leer de meest voorkomende drogredenen herkennen en verbeteren, van het bevestigen van de consequent tot correlatie en causaliteit, met wiskundige voorbeelden.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Geldige redeneervormen onderscheiden van het bevestigen van de consequent en het ontkennen van de antecedent
Veelvoorkomende informele drogredenen herkennen in geschreven redeneringen en de fout uitleggen
Met een tegenvoorbeeld laten zien dat een conclusie niet volgt
Misleidende statistiek herkennen: totalen in plaats van cijfers per groep, kleine steekproeven en correlatie die als causaliteit wordt gebracht
Een foute redenering herschrijven zodat ze geldig of eerlijk wordt

Vereisten

• Als-dan-beweringen: voorwaarde, conclusie en de waarheidstabel van $p \to q$
• Omgekeerde en inverse: waarom een ware bewering een onware omgekeerde kan hebben
• Contrapositie: de gelijkwaardige vorm $\neg q \to \neg p$
• Procenten en cijfers per groep, zoals $\frac{90}{120} \times 100$

Discussiestarters

1. Als het regent, is de straat nat. De straat is nat. Heeft het geregend? Wat kan er nog meer gebeurd zijn?
2. Kan een redenering met een drogreden toch een ware conclusie hebben? Geef een voorbeeld.
3. Zoek een nieuwskop die totalen vergelijkt. Welk getal zou je nodig hebben voor een eerlijke vergelijking?
4. Wanneer is het verstandig om een expert te vertrouwen, en wanneer wordt het een beroep op autoriteit?

Veelvoorkomende misvattingen

Als de conclusie waar is, moet de redenering geldig zijn

Herstel: Laat een ongeldige redenering met een ware conclusie zien: als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. 12 is even, dus 12 is deelbaar door 6. De conclusie is waar, maar dezelfde vorm geeft bij 14 een onware uitkomst.

Een sterke correlatie bewijst dat het ene het andere veroorzaakt

Herstel: Gebruik ijsverkoop en zonnebrand: allebei stijgen ze in de zomer. Laat leerlingen de verborgen derde factor (zonnig weer) noemen voordat je gecontroleerde experimenten bespreekt.

Als iets vaak gewerkt heeft, werkt het altijd

Herstel: Laat leerlingen $2^n - 1$ met de rekenmachine berekenen voor $n = 2, 3, 5, 7$ , vraag om een vermoeden en onthul daarna $n = 11$ met de factoren $23 \times 89$ . De verrassing zorgt dat het blijft hangen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef een tabel met de vier vormen en laat elke redenering aan een rij koppelen
• Begin met redeneringen uit het dagelijks leven voordat je naar getallen gaat
• Geef het tegenvoorbeeld en laat uitleggen waarom het de redenering onderuit haalt

Voor leerlingen op niveau:

• De drogreden benoemen in tien korte redeneringen en van elke een verbeterde versie schrijven
• Cijfers per groep berekenen uit nieuwsgegevens en beslissen of een kop eerlijk is
• Met de waarheidstabel van $p \to q$ uitleggen waarom het bevestigen van de consequent faalt

Voor gevorderde leerlingen:

• Een echte statistische bewering onderzoeken en mogelijke verstorende variabelen vinden
• Met de rekenmachine het volgende priemgetal $n$ na 11 vinden waarvoor $2^n - 1$ niet priem is
• Een korte debattoespraak schrijven zonder een van de drogredenen uit de les en die door klasgenoten laten controleren

Standaarduitlijning

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Houdbare argumenten opbouwen en de redeneringen van anderen kritisch beoordelen
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Onderscheid maken tussen correlatie en causaliteit
HSS.IC.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.6)
Op gegevens gebaseerde rapporten beoordelen

Lesbronnen

visualInteractieve waarheidstabel
Leerlingen zoeken de rij van $p \to q$ waarin beide premissen waar zijn maar $p$ onwaar is
activityDrogredendetectives
Groepjes verzamelen reclames en nieuwskoppen, benoemen de drogreden en herschrijven de bewering eerlijk
worksheetGeldig of drogreden?
12 redeneringen indelen in modus ponens, modus tollens, bevestigen van de consequent en ontkennen van de antecedent

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een drogreden is een fout in een redenering: de conclusie volgt niet uit de premissen, ook al klinkt de redenering overtuigend. Er zijn twee families.

1. Formele drogredenen zijn fouten in de vorm van een redenering. Twee ervan komen voort uit als-dan-beweringen

p \to q

. Vergelijk ze met de twee geldige vormen:

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Vorm} & \text{Premissen} & \text{Conclusie} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{geldig} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{geldig} \\ \text{Bevestigen van de consequent} & p \to q,\ q & p & \text{ongeldig} \\ \text{Ontkennen van de antecedent} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{ongeldig} \end{array}

Het bevestigen van de consequent is de fout van het omgekeerde (

q \to p

), en het ontkennen van de antecedent is de fout van de inverse (

\neg p \to \neg q

). De waarheidstabel laat zien waarom ze mislukken: in de rij waarin

p

F (onwaar) is en

q

T (waar), is

p \to q

waar en

q

waar, dus beide premissen zijn waar, maar

p

is onwaar. (De interactieve tabel controleert de fout van het omgekeerde: de laatste kolom is precies in deze rij O. Hij schrijft W voor waar en O voor onwaar.)

2. Informele drogredenen zijn fouten in de inhoud van een redenering:

Ad-hominemargument (op de man spelen): de persoon aanvallen in plaats van zijn redenering.
Stropopredenering: de bewering van de ander veranderen in een zwakkere versie en die aanvallen.
Vals dilemma: maar twee mogelijkheden noemen terwijl er meer zijn.
Overhaaste generalisatie: een algemene regel op basis van te weinig gevallen.
Cirkelredenering: de conclusie zit al verstopt in de premissen.
Hellend vlak: beweren dat een kleine stap onvermijdelijk tot een ramp leidt.
Beroep op autoriteit: iets is waar omdat een beroemd of machtig persoon het zegt.
Correlatie en causaliteit: twee dingen gebeuren samen, dus zou het ene het andere veroorzaken.

Belangrijk: een drogreden laat zien dat de redenering haar conclusie niet bewijst. De conclusie zelf kan nog steeds waar of onwaar zijn.

Uitgewerkte voorbeelden

Redenering: als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. 14 is even. Dus 14 is deelbaar door 6. Is de redenering geldig?

Benoem de delen

$p$ : het getal is deelbaar door 6. $q$ : het getal is even. → Regel: $p \to q$

Zoek uit welk deel gegeven is

We horen dat 14 even is, dus de conclusie $q$ is gegeven, en de redenering leidt daaruit $p$ af. → Vorm: $p \to q,\ q$ , dus $p$

Vergelijk met de geldige vormen

Modus ponens heeft $p$ nodig als premisse, niet $q$ . Dit is het bevestigen van de consequent. → Ongeldige vorm

Controleer met een berekening

$14 \div 6 = 2$ rest $2$ → 14 is niet deelbaar door 6

Antwoord: De redenering is ongeldig: ze bevestigt de consequent. 14 is even maar niet deelbaar door 6, dus de conclusie is hier zelfs onwaar.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een drogreden bewijst dat de conclusie onwaar is

Waarom het fout is: Een drogreden laat alleen zien dat de redenering haar conclusie niet bewijst. Neem de regel: als $x = 2$ , dan $x^2 = 4$ . Uit $x^2 = 4$ concluderen dat $x = 2$ is ongeldig, en toch kan $x$ gelijk zijn aan $2$ .

Correct: Zeg dat de conclusie niet volgt. Om te laten zien dat ze onwaar is, heb je een tegenvoorbeeld nodig, hier $x = -2$ .

Het bevestigen van de consequent verwarren met modus ponens

Waarom het fout is: Beide gebruiken $p \to q$ en lijken op elkaar. Het verschil is welk deel als premisse gegeven is.

Correct: Is $p$ gegeven, dan mag je $q$ concluderen (geldig). Is $q$ gegeven, dan mag je $p$ niet concluderen (bevestigen van de consequent).

Veel voorbeelden als bewijs zien

Waarom het fout is: 3 of zelfs 100 gevallen controleren blijft een overhaaste generalisatie als de bewering over alle getallen gaat.

Correct: Gebruik voorbeelden om een vermoeden op te stellen en bewijs het daarna met een redenering die elk geval dekt, of vind een tegenvoorbeeld.

Elke verwijzing naar een expert een beroep op autoriteit noemen

Waarom het fout is: Een relevante expert aanhalen samen met bewijs is normaal. De drogreden is een naam gebruiken in plaats van bewijs, vooral buiten het vakgebied van die persoon.

Correct: Vraag je af: is deze persoon expert in precies dit onderwerp, en welk bewijs ondersteunt de bewering?

Waarom het belangrijk is

Drogredenen zijn overal, en veel ervan verstoppen zich achter getallen:

Wiskunde: een formule voor 4 gevallen controleren is geen bewijs. Voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ is $2^n - 1$ priem, maar voor $n = 11$ krijg je $2047 = 23 \times 89$ .
Nieuws en statistiek: koppen maken van een correlatie vaak een oorzaak, of noemen grote totalen zonder te delen door het aantal inwoners.
Reclame: 8 op de 10 gebruikers zijn enthousiast! klinkt sterk, tot je ontdekt dat er maar 10 mensen zijn gevraagd.
Discussies en sociale media: persoonlijke aanvallen en stropoppen vervangen echte argumenten, en valse dilemma's verbergen betere mogelijkheden.
Wetenschap: onderzoekers gebruiken controlegroepen juist omdat correlatie geen causaliteit is.

Zodra je een drogreden kunt benoemen, kun je precies uitleggen wat er ontbreekt en hoe je de redenering kunt repareren.

Toepassingen in de echte wereld

Reclameclaims

Reclame houdt van percentages en bekende gezichten. Een kleine steekproef en een beroemdheid zijn een overhaaste generalisatie en een beroep op autoriteit die samenwerken.

Voorbeeld:

Een reclame zegt: 80 % van de gebruikers haalde betere cijfers, zegt een beroemde voetballer! De speler is geen expert in leren, en de 80 % komt misschien van heel weinig mensen.

1Probeer het zelf

Een studie-app heeft 5000 gebruikers. De 80 % uit de reclame komt uit een enquête onder 10 gebruikers, van wie er 8 ja antwoordden.

Welk percentage van alle gebruikers is echt gevraagd?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het deel van de gevraagde gebruikers als percentage:

Nieuwskoppen en totalen

Koppen vergelijken vaak totalen zonder te delen door de grootte van de groep. Grote steden hebben van bijna alles grote totalen.

Voorbeeld:

Stad A heeft 4000 sterfgevallen per jaar en stad B maar 300, dus een krant kopt: stad A is veel gevaarlijker. Maar stad A heeft 2000000 inwoners en stad B 100000.

2Probeer het zelf

Stad A: 2000000 inwoners, 4000 sterfgevallen per jaar. Stad B: 100000 inwoners, 300 sterfgevallen per jaar. Vergelijk de cijfers per 1000 inwoners.

Welke stad heeft het hoogste sterftecijfer per 1000 inwoners?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het cijfer per 1000 inwoners voor stad A:

Statistiek over verkeersveiligheid

Een bekende bewering zegt dat de meeste ongelukken dicht bij huis gebeuren, dus dat rijden dicht bij huis gevaarlijk is. Ze negeert het basispercentage: hoeveel er dicht bij huis gereden wordt.

Voorbeeld:

Als 85 % van alle kilometers dicht bij huis wordt gereden, verwachten we daar ongeveer 85 % van de ongelukken, zelfs als het risico overal even groot zou zijn.

3Probeer het zelf

In een regio gebeuren 700 van de 1000 ongelukken binnen 10 km van huis, en 85 % van al het rijden gebeurt binnen 10 km van huis.

Laten de gegevens zien dat rijden dicht bij huis gevaarlijker is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal ongelukken dat je dicht bij huis zou verwachten als het risico overal even groot was:

Belangrijke punten

1Een drogreden is een fout in een redenering: de conclusie volgt niet uit de premissen
2Het bevestigen van de consequent ( $p \to q$ , $q$ , dus $p$ ) en het ontkennen van de antecedent ( $p \to q$ , $\neg p$ , dus $\neg q$ ) zijn ongeldige vormen
3Modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , dus $q$ ) en modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , dus $\neg p$ ) zijn de geldige vormen
4Informele drogredenen zijn onder meer het ad-hominemargument, de stropopredenering, het valse dilemma, de overhaaste generalisatie, de cirkelredenering, het hellend vlak en het beroep op autoriteit
5Correlatie is geen causaliteit: zoek naar een derde factor en vergelijk cijfers per groep, geen totalen
6Voorbeelden bewijzen nooit een algemene regel, maar één tegenvoorbeeld weerlegt hem

Veelgestelde vragen

Als een redenering een drogreden bevat, is de conclusie dan onwaar?

Niet per se. De drogreden laat zien dat de redenering de conclusie niet bewijst. Die kan om andere redenen nog steeds waar zijn, dus je hebt een tegenvoorbeeld nodig om te laten zien dat ze onwaar is.

Wat is het verschil tussen een formele en een informele drogreden?

Een formele drogreden is fout door haar structuur, wat het onderwerp ook is: het bevestigen van de consequent is ongeldig bij getallen, bij het weer en bij al het andere. Een informele drogreden is fout door haar inhoud, zoals een vergeten mogelijkheid of een aanval op een persoon.

Hoeveel gevallen moet ik controleren om een regel te bewijzen?

Geen enkel aantal gevallen is genoeg voor een regel over oneindig veel getallen.

2^n - 1

is priem voor de priemgetallen

n = 2, 3, 5, 7

en faalt toch bij

n = 11

. Voorbeelden helpen je om te vermoeden, een bewijs maakt het zeker.

Hoe onderscheid ik correlatie van causaliteit?

Stel drie vragen: kan een derde factor allebei veroorzaken, kan de oorzaak andersom werken, en was er een gecontroleerd experiment? Zonder eerlijke vergelijking laat een correlatie alleen zien dat twee dingen samen voorkomen.

Woordenlijst

Drogreden: Een fout in een redenering waardoor die haar conclusie niet bewijst
Formele drogreden: Een fout in de vorm van een redenering, zoals het bevestigen van de consequent
Informele drogreden: Een fout in de inhoud van een redenering, zoals een stropopredenering of een vals dilemma
Bevestigen van de consequent: De ongeldige vorm $p \to q$ , $q$ , dus $p$
Ontkennen van de antecedent: De ongeldige vorm $p \to q$ , $\neg p$ , dus $\neg q$
Verstorende variabele (confounder): Een verborgen derde factor die twee dingen beïnvloedt en ze met elkaar verbonden laat lijken

Formulekaart

Modus ponens (geldig)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

De voorwaarde is gegeven, dus de conclusie volgt

Modus tollens (geldig)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

De conclusie is onwaar, dus de voorwaarde is onwaar

Bevestigen van de consequent (ongeldig)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

De fout van het omgekeerde: $q$ kan waar zijn terwijl $p$ onwaar is

Ontkennen van de antecedent (ongeldig)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

De fout van de inverse: $q$ kan waar zijn terwijl $p$ onwaar is

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Veelvoorkomende drogredenen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Reclameclaims

Nieuwskoppen en totalen

Statistiek over verkeersveiligheid

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Modus ponens (geldig)

Modus tollens (geldig)

Bevestigen van de consequent (ongeldig)

Ontkennen van de antecedent (ongeldig)

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse