Terug naar les

Docentenhandleiding: Lijn van beste passing

Leer een lijn van beste passing op het oog in een spreidingsdiagram te tekenen, de vergelijking uit twee punten te vinden en de richtingscoëfficiënt en het startgetal te verklaren.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Regressie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Een lijn van beste passing op het oog tekenen met ongeveer de helft van de punten erboven en de helft eronder
  • Beoordelen of een gegeven lijn bij de data past en zeggen hoe hij beter kan
  • De vergelijking van een lijn van beste passing opstellen uit twee punten op de lijn
  • De richtingscoëfficiënt en het startgetal van een lijn van beste passing in de context verklaren, met eenheden
  • Het gemiddelde punt gebruiken om een lijn van beste passing te controleren en bij te stellen
Vereisten
  • • Spreidingsdiagrammen: punten aflezen en een trend beschrijven
  • • Richtingscoëfficiënt en de vergelijking y=mx+by = mx + b
  • • Het gemiddelde van een rij getallen berekenen
  • • Inleiding tot regressie en Lineaire regressie (handig, niet verplicht)
Discussiestarters
  • 1. Twee klasgenoten tekenden voor dezelfde data een andere lijn van beste passing. Kunnen ze allebei gelijk hebben?
  • 2. Waarom is een lijn door het eerste en het laatste punt vaak een slechte keuze?
  • 3. Wat zegt een negatieve richtingscoëfficiënt over de situatie?
  • 4. Ken je een lijn van beste passing waarvan het startgetal in het echte leven nergens op slaat?
  • 5. Waarom helpt het om het gemiddelde punt te tekenen voordat je de lijn trekt?
Veelvoorkomende misvattingen

De lijn moet door zoveel mogelijk datapunten gaan

Herstel: Laat een lijn zien die 3 punten raakt maar 5 punten aan één kant laat liggen. Laat daarna een lijn zien die geen enkel punt raakt maar de punten in evenwicht houdt. Vraag welke de trend beter beschrijft.

Er is precies één juiste lijn van beste passing op het oog

Herstel: Laat groepjes lijnen tekenen bij dezelfde data en de vergelijkingen vergelijken. Richtingscoëfficiënten als 1,9 en 2,1 zijn allebei goed; bespreek wat een lijn duidelijk fout maakt.

Het startgetal heeft altijd een echte betekenis

Herstel: Gebruik lengte en spanwijdte van de armen, of temperatuur en limonadeverkoop. Laat zien dat x=0x = 0 ver buiten de data kan liggen, zodat het startgetal alleen een deel van de vergelijking is.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Begin met data die een heel duidelijke trend en weinig punten hebben
  • • Geef twee mogelijke lijnen en vraag alleen welke beter past
  • • Geef lijnen die de y-as in een roosterpunt snijden, zodat b direct af te lezen is

Voor leerlingen op niveau:

  • • Lijnen op het oog tekenen en hun vergelijking opstellen uit twee roosterpunten
  • • Richtingscoëfficiënt en startgetal met eenheden verklaren in verschillende contexten
  • • De lijnen van de klas vergelijken met het gemiddelde punt van de data

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Een lijn op het oog vergelijken met de kleinste-kwadratenlijn uit een rekenprogramma
  • • Datasets zoeken waarbij het startgetal geen betekenis heeft en uitleggen waarom
  • • Onderzoeken hoe één uitschieter de lijn van beste passing verschuift
Standaarduitlijning
  • 8.SP.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.2)

    Weten dat rechte lijnen vaak verbanden tussen twee kwantitatieve variabelen modelleren; informeel een lijn passen en de passing beoordelen aan de hand van hoe dicht de punten bij de lijn liggen

  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    De vergelijking van een lineair model gebruiken om problemen met tweedimensionale meetdata op te lossen, met uitleg van richtingscoëfficiënt en startgetal

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Een lineaire functie passen bij een spreidingsdiagram dat een lineair verband laat zien

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    De richtingscoëfficiënt (veranderingssnelheid) en het startgetal (constante term) van een lineair model verklaren in de context van de data

Lesbronnen
  • visualZet je eigen lijn

    Leerlingen tikken twee roosterpunten aan in het spreidingsdiagram en zien meteen de vergelijking van hun lijn

  • activitySpaghettilijn

    Leerlingen leggen een droge spaghettisliert op een geprint spreidingsdiagram om de beste plek te vinden en vergelijken daarna de vergelijkingen

  • worksheetOefenen met trendlijnen

    Gegeven lijnen beoordelen, zelf lijnen tekenen en hun vergelijkingen opstellen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een lijn van beste passing (ook trendlijn genoemd) is een rechte lijn in een spreidingsdiagram die de algemene trend van de data laat zien. Hij hoeft door geen enkel punt te gaan.
Een goede lijn van beste passing op het oog:
  • heeft ongeveer de helft van de punten boven zich en de helft onder zich
  • volgt de richting van de punten (stijgend, dalend, hoe steil)
  • heeft de punten verdeeld over zijn hele lengte, niet allemaal boven aan het ene uiteinde en allemaal onder aan het andere
Als de lijn getekend is, kies je twee punten op de lijn (geen datapunten), ver uit elkaar en op roosterpunten, en vind je de vergelijking y=mx+by = mx + b:
m=y2−y1x2−x1,b=y1−mx1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1
Het gemiddelde punt (of zwaartepunt) (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) is een handig hulpmiddel: de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode gaat er altijd doorheen, dus een goede lijn op het oog moet er ook door of er heel dicht langs gaan.

Uitgewerkte voorbeelden

Mia telt na elke trainingsweek hoeveel keer ze zich in één minuut kan opdrukken. Week 1 tot en met 8: 6,6,9,12,12,16,16,196, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19. Drie leerlingen tekenen een lijn op het oog: - Lijn A: y=2x+3y = 2x + 3 - Lijn B: y=2x+7y = 2x + 7 - Lijn C: y=0,5x+9y = 0{,}5x + 9 Welke lijn is de beste lijn van beste passing?
1

Controleer lijn B

Lijn B geeft 9,11,13,15,17,19,21,239, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 voor week 1 tot en met 8. Elk datapunt ligt lager. → Alle 8 punten liggen onder lijn B: hij ligt te hoog
2

Controleer lijn C

Lijn C geeft 9,5;10;10,5;11;11,5;12;12,5;139{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13. Week 1 tot en met 3 liggen eronder, week 4 tot en met 8 erboven. → Punten onder aan de linkerkant, boven aan de rechterkant: lijn C is te vlak
3

Controleer lijn A

Lijn A geeft 5,7,9,11,13,15,17,195, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Erboven: week 1, 4, 6. Eronder: week 2, 5, 7. Op de lijn: week 3, 8. → 3 erboven, 3 eronder, verdeeld over de hele lijn
4

Beslis

Alleen bij lijn A zijn de punten aan beide kanten over de hele lengte in evenwicht, en hij volgt de stijgende trend. → Lijn A past het best

Veelgemaakte fouten

De lijn van het eerste naar het laatste datapunt tekenen

Waarom het fout is: Het eerste en het laatste punt kunnen afwijken. Een lijn door die twee laat vaak de meeste punten aan één kant liggen.

Correct: Kijk niet naar losse punten maar naar de hele wolk: ongeveer de helft van de punten erboven, de helft eronder. De lijn mag door geen enkel punt gaan.

Het aantal punten in evenwicht brengen zonder de trend te volgen

Waarom het fout is: Een te vlakke lijn kan 4 punten erboven en 4 eronder hebben, maar alle lage punten liggen links en alle hoge rechts.

Correct: Controleer beide uiteinden: bij elk uiteinde van de lijn moeten er punten boven en onder liggen.

De richtingscoëfficiënt uit twee datapunten berekenen in plaats van uit twee punten op de lijn

Waarom het fout is: Datapunten liggen meestal niet op de lijn, dus hun richtingscoëfficiënt is niet de richtingscoëfficiënt van jouw lijn.

Correct: Lees twee punten af die op jouw getekende lijn liggen, ver uit elkaar en op roosterpunten, en gebruik dan m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

De richtingscoëfficiënt lezen als een waarde van y in plaats van een verandering

Waarom het fout is: Bij y=2x+3y = 2x + 3 voor weken en opdrukken betekent 22 niet "2 keer opdrukken". Het is de verandering per week.

Correct: Noem de richtingscoëfficiënt met beide eenheden: per trainingsweek ongeveer 2 keer extra opdrukken.

Waarom het belangrijk is

Echte data liggen nooit precies op een lijn, maar ze volgen vaak een duidelijke trend:
  • Sport: een trainster ziet hoeveel een atlete per trainingsweek vooruitgaat
  • Winkels: een café ziet hoeveel warme dranken het per warmere dag minder verkoopt
  • Wetenschap: een leerling bepaalt uit verspreide metingen hoe snel een plant per dag groeit
  • Geld: een koper ziet hoeveel waarde een tweedehands fiets per jaar verliest
Een lijn van beste passing maakt van een puntenwolk één eenvoudige regel y=mx+by = mx + b. De richtingscoëfficiënt zegt hoeveel yy verandert per eenheid van xx, het startgetal zegt waar de trend begint. Het is de eerste stap voordat je voorspellingen doet, residuen bekijkt en meet hoe goed een lijn past.

Toepassingen in de echte wereld

Trainen voor een hardloopwedstrijd

Trainers tekenen een trendlijn door de tijden van een atlete om te zien hoeveel sneller ze elke week wordt.

Voorbeeld:

De 5 km-tijden van een hardloopster dalen in een paar weken van ongeveer 30 minuten naar ongeveer 22 minuten. De trendlijn laat de gestage vooruitgang zien, ook op slechte dagen.

1Probeer het zelf

De lijn van beste passing voor de 5 km-tijd yy (minuten) van een hardloopster na xx weken gaat door (2,30)(2, 30) en (6,22)(6, 22).

Wat is de richtingscoëfficiënt van de lijn, in minuten per week?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Richtingscoëfficiënt = verandering in y gedeeld door verandering in x:

Limonadekraam

Kleine verkopers zetten de temperatuur uit tegen de verkoop om te plannen hoeveel ze moeten klaarmaken.

Voorbeeld:

Op warme dagen verkoopt een kraam veel meer bekers. Een trendlijn door de data van een zomer laat zien hoeveel extra bekers elke graad ongeveer oplevert.

2Probeer het zelf

De lijn van beste passing van een limonadekraam voor de temperatuur xx (°C) en het aantal verkochte bekers yy gaat door (20,30)(20, 30) en (30,50)(30, 50).

Wat is het startgetal bb van deze lijn?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal de richtingscoëfficiënt en gebruik dan b=y1−mx1b = y_1 - m x_1:

Proef met plantengroei

Bij biologie meten leerlingen een plant om de paar dagen en beschrijven ze de groeisnelheid met een trendlijn.

Voorbeeld:

Metingen zijn nooit perfect, dus de hoogtes liggen een beetje verspreid. De lijn van beste passing geeft één groeisnelheid in centimeter per dag.

3Probeer het zelf

Een plant wordt gemeten op dag 2,4,6,82, 4, 6, 8, met hoogtes 3,6,8,113, 6, 8, 11 cm. De lijn van beste passing heeft richtingscoëfficiënt 1,31{,}3 en gaat door het gemiddelde punt.

Wat is het startgetal bb van de lijn?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik het gemiddelde punt in b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}:

Belangrijke punten

  • 1Een lijn van beste passing is een rechte lijn die de algemene trend van de punten in een spreidingsdiagram laat zien
  • 2Teken hem op het oog zo dat ongeveer de helft van de punten erboven en de helft eronder ligt, over zijn hele lengte
  • 3De lijn volgt de richting van de data en hoeft door geen enkel datapunt te gaan
  • 4Vind de vergelijking uit twee punten op de lijn: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, daarna b=y1−mx1b = y_1 - m x_1
  • 5De richtingscoëfficiënt is de verandering van yy per eenheid van xx; het startgetal is de voorspelde yy bij x=0x = 0, die soms geen echte betekenis heeft
  • 6De kleinste-kwadratenlijn gaat altijd door het gemiddelde punt (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}), dus een goede lijn op het oog gaat er dicht langs

Veelgestelde vragen

Is er maar één juiste lijn van beste passing?

Op het oog niet. Twee leerlingen kunnen een iets andere lijn tekenen die allebei goed zijn. Hun richtingscoëfficiënten en startgetallen liggen dicht bij elkaar. Alleen de kleinste-kwadratenlijn uit de les Lineaire regressie is één exacte lijn.

Moet de lijn door de oorsprong gaan?

Nee. De lijn gaat waar de data hem heen sturen. Dwing hem alleen door (0,0)(0, 0) als de situatie echt bij nul begint en de data dat bevestigen.

Moet ik punten meetellen die precies op de lijn liggen?

Punten op de lijn tellen voor geen van beide kanten. Breng de punten erboven in evenwicht met de punten eronder.

Wanneer moet ik geen lijn van beste passing tekenen?

Als het spreidingsdiagram geen trend laat zien, of als de punten duidelijk een kromme volgen. Een rechte lijn is alleen zinvol bij een lineair patroon.

Woordenlijst

Lijn van beste passing
Een rechte lijn in een spreidingsdiagram die de algemene trend van de data laat zien (ook trendlijn genoemd)
Richtingscoëfficiënt
De verandering van yy als xx met 1 toeneemt; langs de lijn is m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Startgetal
De waarde van yy waar de lijn de y-as snijdt, dus bij x=0x = 0
Gemiddelde punt
Het punt (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) uit het gemiddelde van alle x-waarden en het gemiddelde van alle y-waarden (ook zwaartepunt of punt van de gemiddelden genoemd)
Regressielijn
De exacte lijn van beste passing volgens de kleinste-kwadratenmethode; hij gaat altijd door het gemiddelde punt

Formulekaart

Richtingscoëfficiënt uit twee punten

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Gebruik twee punten op de getekende lijn, geen datapunten

Startgetal

b=y1−mx1b = y_1 - m x_1

Vul een punt van de lijn en de richtingscoëfficiënt in $y = mx + b$ in

Lijn van beste passing

y=mx+by = mx + b

De vergelijking van de trendlijn

Gemiddelde punt

yˉ=mxˉ+b\bar{y} = m\bar{x} + b

De kleinste-kwadratenlijn gaat door $(\bar{x}, \bar{y})$

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Gevorderd25 min

Lineaire regressie

Gevorderd25 min

Spreidingsdiagrammen

Gemiddeld25 min

Voorspellingen doen met data

Gemiddeld25 min