Terug naar les

Docentenhandleiding: Voorspellingen doen met data

Gebruik een regressielijn om waarden te voorspellen, terug te rekenen naar een doel en te beoordelen wanneer je een voorspelling kunt vertrouwen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Regressie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • Een x-waarde invullen in een regressievergelijking om een voorspelde waarde te berekenen
  • Een regressievergelijking oplossen naar x om de invoer te vinden die een doelwaarde geeft
  • Interpolatie en extrapolatie onderscheiden en uitleggen waarom extrapolatie riskant is
  • Voorspellingen afronden met een nauwkeurigheid en richting die bij de context passen
  • De betrouwbaarheid van een voorspelling beoordelen aan de hand van de sterkte van de correlatie
Vereisten
  • • Inleiding tot regressie: de lijn van beste passing y=mx+by = mx + b
  • • Lineaire regressie: richtingscoëfficiënt en startgetal van een regressielijn
  • • Correlatiecoëfficiënt: rr lezen als sterk, matig of zwak
  • • Gegevens interpreteren en voorspellingen doen: algemene trends in data
  • • Lineaire vergelijkingen in twee stappen oplossen
Discussiestarters
  • 1. Een lijn voorspelt een score van 112, terwijl het maximum 100 is. Wat ging er mis, en hoe had je dat al vóór het rekenen kunnen zien?
  • 2. Wanneer moet je een voorspelling naar boven afronden in plaats van op het dichtstbijzijnde hele getal?
  • 3. Twee lijnen geven voorspellingen met dezelfde methode. Waarom kun je de ene veel meer vertrouwen dan de andere?
  • 4. Weersverwachtingen voor volgende week zijn minder nauwkeurig dan voor morgen. Hoe lijkt dat op extrapolatie?
Veelvoorkomende misvattingen

Een voorspelde waarde gebeurt zeker

Herstel: Laat het spreidingsdiagram zien: echte punten liggen boven en onder de lijn. Vergelijk de voorspelling voor 7 uur met de echte scores 62 en 88 in de zwakke dataset.

Als de vergelijking een getal geeft, moet dat getal zinvol zijn

Herstel: Laat leerlingen bewust extrapoleren (12 uur studeren, 15 uur accu) en de antwoorden vergelijken met de werkelijkheid: 112 punten, -20%.

Om x voor een doel te vinden, vul je het doel in voor x

Herstel: Vraag eerst: is het gegeven getal een x-waarde of een y-waarde? Laat de eenheden (uren of punten) opschrijven voordat de vergelijking wordt opgesteld.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Begin met hele getallen als richtingscoëfficiënt en snijpunt
  • • Geef een tabel met het databereik boven elke opgave
  • • Oefen eerst alleen y voorspellen uit x voordat je naar x oplost

Voor leerlingen op niveau:

  • • Meng voorspel- en oplosvragen met decimale richtingscoëfficiënten
  • • Deel elke voorspelling in als interpolatie of extrapolatie
  • • Bepaal de afrondingsrichting vanuit de context

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Vergelijk voorspellingen uit sterke en zwakke data en verklaar het verschil met r
  • • Zoek de x-waarde waarbij een model een onmogelijke uitkomst geeft (accu op 0%, score op 100)
  • • Zoek een echte voorspelling op en bespreek hoe ver die extrapoleert
Standaarduitlijning
  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    De vergelijking van een lineair model gebruiken om problemen met tweedimensionale meetgegevens op te lossen en de richtingscoëfficiënt en het snijpunt te interpreteren

  • HSS.ID.B.6.A (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.A)

    Een functie aan data aanpassen en aangepaste functies gebruiken om problemen in de context van de data op te lossen

  • HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)

    De correlatiecoëfficiënt van een lineaire benadering (met technologie) berekenen en interpreteren

Lesbronnen
  • visualVoorspellingsschuifje

    Leerlingen schuiven x langs de regressielijn en zien hoe de voorspelling en de afstand tot het databereik veranderen

  • activityVoorspel en controleer

    Leerlingen voorspellen waarden uit klasdata en vergelijken die bij sterke en zwakke data met echte metingen

  • worksheetInterpolatie of extrapolatie?

    Gemengde oefening: voorspellen, oplossen naar x, elke voorspelling indelen en afronden passend bij de context

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Zodra je een regressielijn y^=mx+b\hat{y} = mx + b hebt, kun je die gebruiken om voorspellingen te doen. Het symbool y^\hat{y} (spreek uit: "y-dakje") is de voorspelde waarde: de waarde die de lijn verwacht, geen gemeten waarde.
Er zijn twee soorten vragen:
  • yy voorspellen uit xx**: vul de waarde van xx in en bereken y^=mx+b\hat{y} = mx + b.
  • xx vinden voor een doel yy**: stel mx+bmx + b gelijk aan het doel en los op: x=y−bmx = \frac{y - b}{m}.
Waar de xx-waarde ligt, is belangrijk:
  • Interpolatie: xx ligt binnen het databereik. De voorspelling is meestal redelijk.
  • Extrapolatie: xx ligt buiten het databereik. Het patroon hoeft niet door te gaan, dus de voorspelling is riskant.
Hoeveel je een voorspelling kunt vertrouwen, hangt af van de sterkte van de correlatie: als rr dicht bij 11 of −1-1 ligt, liggen de punten dicht bij de lijn en zijn voorspellingen betrouwbaar; als rr dicht bij 00 ligt, zijn het alleen ruwe schattingen.

Uitgewerkte voorbeelden

Een klas heeft studie-uren (xx, van 1 tot 8 uur) en toetsscores (yy, maximaal 100) bijgehouden. De regressielijn is y^=5x+52\hat{y} = 5x + 52. Voorspel de score van een leerling die 6,56{,}5 uur studeert.
1

Controleer waar de x-waarde ligt

De data loopt van 11 tot 88 uur, en 1≤6,5≤81 \le 6{,}5 \le 8 → Binnen de data: interpolatie
2

Vul x = 6,5 in de vergelijking in

y^=5(6,5)+52\hat{y} = 5(6{,}5) + 52 → y^=5×6,5+52\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52
3

Vermenigvuldig

5×6,5=32,55 \times 6{,}5 = 32{,}5
4

Tel het startgetal erbij op

32,5+52=84,532{,}5 + 52 = 84{,}5 → y^=84,5\hat{y} = 84{,}5

Veelgemaakte fouten

De doelwaarde van y voor x invullen: voor een doelscore van 8080 uitrekenen 5(80)+52=4525(80) + 52 = 452

Waarom het fout is: 8080 is een score, dus een yy-waarde. Als je die voor xx invult, beantwoord je een andere vraag (de score na 80 uur studeren).

Correct: Stel de vergelijking gelijk aan het doel en los op naar xx: 80=5x+5280 = 5x + 52, dus x=5,6x = 5{,}6.

Op extrapolatie vertrouwen: 112112 punten voorspellen voor 1212 uur studeren

Waarom het fout is: Het patroon is alleen tussen 1 en 8 uur waargenomen. Daarbuiten kan het veranderen, en hier kan de score niet eens boven de 100 komen.

Correct: Controleer altijd eerst het databereik. Markeer voorspellingen daarbuiten als extrapolatie en ga er voorzichtig mee om.

Afronden zonder aan de situatie te denken: 84,584{,}5 punten als exact opgeven, of 5,65{,}6 uur naar beneden afronden op 55

Waarom het fout is: Een voorspelling is een schatting, en extra decimalen suggereren een nauwkeurigheid die er niet is. Als je bij een doel naar beneden afrondt, kom je misschien tekort (5 uur voorspelt maar 77 punten).

Correct: Rond af op de nauwkeurigheid van de data, en rond naar boven af als je een doel moet halen of iedereen moet voorzien (tijd, stoelen, bussen).

Elke voorspelling even betrouwbaar vinden

Waarom het fout is: Een lijn kun je altijd berekenen, ook bij verspreide data. Met r≈0,21r \approx 0{,}21 kunnen de echte waarden ver van y^\hat{y} liggen.

Correct: Kijk eerst naar het spreidingsdiagram of rr: ∣r∣|r| dicht bij 1 betekent een betrouwbare voorspelling, ∣r∣|r| dicht bij 0 alleen een ruwe schatting.

Waarom het belangrijk is

Voorspellingen zijn de belangrijkste reden om een lijn door data te trekken:
  • Planning: een schoolfeest voorspelt hoeveel bezoekers er komen, zodat het weet hoeveel stoelen er klaar moeten staan.
  • Gezondheid: artsen vergelijken de lengte van een kind met groeimodellen om te zien of het normaal groeit.
  • Bezorgapps: apps schatten hoe lang je bestelling duurt op basis van de afstand tot het restaurant.
  • Accu's: telefoons schatten hoeveel uur accu er nog over is op basis van hoe snel hij leegloopt.
Een voorspelling is pas nuttig als je ook weet hoeveel je hem kunt vertrouwen. Wie interpolatie en extrapolatie onderscheidt, zinvol afrondt en de correlatie controleert, gelooft geen getallen als een toetsscore van 112 terwijl het maximum 100 is.

Toepassingen in de echte wereld

Groeicurves voor kinderen

Artsen vergelijken de lengte van een kind met groeimodellen. Een eenvoudig model voor leeftijden van 2 tot 10 jaar is $\hat{y} = 6x + 77$, waarbij $x$ de leeftijd in jaren is en $\hat{y}$ de lengte in cm. Het model geldt alleen voor die leeftijden: voor een volwassene van 40 zou het $317$ cm voorspellen.

Voorbeeld:

Op 5-jarige leeftijd voorspelt het model 6(5)+77=1076(5) + 77 = 107 cm.

1Probeer het zelf

Een groeimodel voor leeftijden van 2 tot 10 jaar is y^=6x+77\hat{y} = 6x + 77 (lengte in cm, leeftijd xx in jaren).

Welke lengte voorspelt het model voor een kind van 8 jaar?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul x=8x = 8 in:

Bezorgtijden schatten

Maaltijdbezorgers trekken lijnen door eerdere bestellingen om bezorgtijden te schatten. Een app vond $\hat{y} = 3x + 8$, waarbij $x$ de afstand in km is (bestellingen van 1 tot 12 km) en $\hat{y}$ de tijd in minuten.

Voorbeeld:

Voor een restaurant op 5 km voorspelt de app 3(5)+8=233(5) + 8 = 23 minuten.

2Probeer het zelf

Het bezorgmodel is y^=3x+8\hat{y} = 3x + 8 (minuten, afstand xx in km, data van 1 tot 12 km). De app wil bezorging binnen 35 minuten beloven.

Tot welke afstand in km kan de app die belofte doen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los 35=3x+835 = 3x + 8 op naar xx:

Accuvoorspellingen op je telefoon

Telefoons schatten de resterende accu op basis van hoe snel hij leegloopt. Metingen tijdens het streamen van video gaven $\hat{y} = 100 - 8x$, waarbij $x$ het aantal uur video is (data van 0 tot 10 uur) en $\hat{y}$ het accuniveau in procent.

Voorbeeld:

Na 6 uur video voorspelt het model 100−8(6)=52%100 - 8(6) = 52\%.

3Probeer het zelf

Het accumodel is y^=100−8x\hat{y} = 100 - 8x (procent, xx in uren, data van 0 tot 10 uur). Iemand vraagt wat de accu na 15 uur video aangeeft.

Welke waarde voorspelt het model voor 15 uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul x=15x = 15 in:

Belangrijke punten

  • 1Om yy te voorspellen vul je xx in in y^=mx+b\hat{y} = mx + b; y^\hat{y} is een voorspelde waarde, geen gemeten waarde
  • 2Om de xx voor een doel yy te vinden, stel je mx+bmx + b gelijk aan het doel en los je op: x=y−bmx = \frac{y - b}{m}
  • 3Interpolatie voorspelt binnen het databereik en is meestal redelijk
  • 4Extrapolatie voorspelt buiten het databereik en is riskant: het kan zelfs onmogelijke waarden opleveren
  • 5Rond voorspellingen af op een zinvolle nauwkeurigheid, en naar boven als je een doel moet halen of iedereen moet voorzien
  • 6Voorspellingen zijn betrouwbaar als ∣r∣|r| dicht bij 1 ligt en alleen ruwe schattingen als rr dicht bij 0 ligt

Veelgestelde vragen

Waarom schrijven we y^\hat{y} in plaats van yy?

Het dakje laat zien dat de waarde van de lijn komt en een voorspelling is. De echte, gemeten waarde is yy. Door ze uit elkaar te houden, onthoud je dat een echte uitkomst boven of onder de voorspelling kan liggen.

Is extrapolatie altijd fout?

Niet altijd. Net buiten de data (bijvoorbeeld x=0x = 0 of x=9x = 9 als de data van 1 tot 8 loopt) kan de schatting nog redelijk zijn. Hoe verder je gaat, hoe groter de kans dat het patroon verandert, dus zeg duidelijk dat je extrapoleert.

Hoe dicht bij 1 moet rr liggen voor een goede voorspelling?

Een gangbare vuistregel: ∣r∣≥0,7|r| \ge 0{,}7 is sterk, 0,40{,}4 tot 0,70{,}7 is matig en onder 0,40{,}4 is zwak. Ook bij een sterke correlatie kan een losse voorspelling een paar punten ernaast zitten.

Kan ik met dezelfde lijn xx voorspellen uit yy?

Als je y=mx+by = mx + b oplost naar xx, krijg je een goede schatting voor planning, zoals in het voorbeeld met de studie-uren. Wie in de statistiek alleen xx wil voorspellen, berekent een aparte lijn met xx als responsvariabele, dus zie de uitkomst als een schatting.

Woordenlijst

Voorspelde waarde y^\hat{y}
De waarde van yy die de regressielijn geeft voor een gekozen xx
Databereik
Het interval van de kleinste tot de grootste xx-waarde in de data
Interpolatie
Een voorspelling voor een xx-waarde binnen het databereik
Extrapolatie
Een voorspelling voor een xx-waarde buiten het databereik; riskant omdat het patroon kan veranderen
Verklarende variabele
De variabele xx waarmee de voorspelling wordt gedaan (bijvoorbeeld studie-uren)
Responsvariabele
De variabele yy die wordt voorspeld (bijvoorbeeld de toetsscore)

Formulekaart

y voorspellen uit x

y^=mx+b\hat{y} = mx + b

Vul de x-waarde in en reken uit

x vinden voor een doel y

x=y−bmx = \frac{y - b}{m}

Trek het startgetal af en deel daarna door de richtingscoëfficiënt

Interpolatiecheck

xmin⁡≤x≤xmax⁡x_{\min} \le x \le x_{\max}

Ligt x binnen het databereik, dan is de voorspelling interpolatie; anders is het extrapolatie

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Gevorderd25 min

Lineaire regressie

Gevorderd25 min

Spreidingsdiagrammen

Gemiddeld25 min

Lijn van beste passing

Gemiddeld25 min