Docentenhandleiding: Determinatiecoëfficiënt (R²)

Leer wat R² zegt over een regressielijn, hoe je het berekent uit r of uit kwadratensommen en waarom een hoge R² geen oorzakelijk verband bewijst.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Regressie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$R^2$ berekenen uit de correlatiecoëfficiënt met $R^2 = r^2$
$R^2$ berekenen uit $SS_{\text{res}}$ en $SS_{\text{tot}}$ met $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$
$R^2$ in de context uitleggen als het percentage van de variatie in $y$ dat verklaard wordt door het lineaire verband met $x$
$r$ bepalen uit $R^2$ met behulp van het teken van de richtingscoëfficiënt
Uitleggen waarom een hoge $R^2$ geen oorzakelijk verband en geen juist model bewijst, en de passing controleren met residuen

Vereisten

• Correlatiecoëfficiënt: wat $r$ meet en waarom $-1 \le r \le 1$
• Lineaire regressie: een lijn van beste passing $\hat{y} = mx + b$ bepalen en gebruiken
• Residuen: waargenomen min voorspelde waarden en residuendiagrammen
• Spreidingsdiagrammen, en daarnaast decimale getallen kwadrateren, wortels en percentages

Discussiestarters

1. Twee modellen hebben $R^2 = 0{,}64$ , één met $r = 0{,}8$ en één met $r = -0{,}8$ . Wat is hetzelfde en wat is anders?
2. Waarom denk je dat we de residuen kwadrateren voordat we ze optellen, in plaats van ze gewoon op te tellen?
3. Is een model met $R^2 = 0{,}30$ nutteloos? Wanneer kan het toch helpen?
4. IJsverkoop en zonnebrand hebben een hoge $R^2$ . Veroorzaakt ijs zonnebrand? Wat zou het anders kunnen verklaren?
5. Hoe kunnen gekromde data toch een hoge $R^2$ geven voor een rechte lijn?

Veelvoorkomende misvattingen

$R^2$ is het percentage punten dat op de regressielijn ligt

Herstel: Laat een dataset zien waarin geen enkel punt precies op de lijn ligt, maar waarbij $R^2 = 0{,}81$ . Leg uit dat $R^2$ de overgebleven variatie vergelijkt met de totale variatie en geen punten telt.

$R^2 = r$ , dus $r = 0{,}7$ betekent dat 70% verklaard wordt

Herstel: Laat leerlingen $0{,}7^2 = 0{,}49$ berekenen en 49% met 70% vergelijken. Herhaal met $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ ) om te laten zien hoe snel het verklaarde deel daalt.

Een hoge $R^2$ betekent dat $x$ de oorzaak is van $y$ en dat de lijn het juiste model is

Herstel: Gebruik de gekromde dataset $y = x^2$ (hoge $R^2$ , U-vormige residuen) en een voorbeeld met een verstorende variabele zoals ijs en zonnebrand. Vraag wat $R^2$ niet kan zien.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin alleen met $R^2 = r^2$ en gebruik de rekenmachine voor de kwadraten
• Gebruik een zinsjabloon: "___% van de variatie in ___ wordt verklaard door het lineaire verband met ___"
• Geef $SS_{\text{res}}$ en $SS_{\text{tot}}$ eerst direct, voordat leerlingen ze zelf berekenen

Voor leerlingen op niveau:

• $SS_{\text{tot}}$ , $SS_{\text{res}}$ en $R^2$ berekenen voor kleine datasets van 5 punten
• Met het teken van de richtingscoëfficiënt van $R^2$ terug naar $r$ gaan
• Twee modellen voor dezelfde data vergelijken en beslissen welk meer variatie verklaart

Voor gevorderde leerlingen:

• Aantonen dat voor de kleinste-kwadratenlijn $SS_{\text{tot}} = SS_{\text{res}} + SS_{\text{reg}}$ geldt en dat $R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}$
• Onderzoeken hoe één uitschieter $R^2$ verandert
• Een kromme aanpassen aan de data $y = x^2$ en de $R^2$ en residuen vergelijken met die van de rechte lijn

Standaarduitlijning

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
De correlatiecoëfficiënt van een lineaire passing (met technologie) berekenen en uitleggen
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
De passing van een functie informeel beoordelen door residuen te tekenen en te analyseren
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Onderscheid maken tussen correlatie en oorzakelijk verband

Lesbronnen

visualSpreidingsdiagrammen: sterke en zwakke passing
Twee spreidingsdiagrammen met trendlijn en residuen: één met $r = 0{,}9$ ( $R^2 = 0{,}81$ ) en één met $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ )
activityVerklaard of niet?
Leerlingen verzamelen klassengegevens (spanwijdte van de armen en lengte, schoenmaat en toetsscore), bepalen $R^2$ met de rekenmachine en beargumenteren welk verband sterker is
worksheetOefenen met R²
Omrekenen tussen $r$ en $R^2$ , $R^2$ berekenen uit kwadratensommen en uitleg in de context opschrijven

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De determinatiecoëfficiënt, geschreven als

R^2

, vertelt je welk deel van de variatie in de responsvariabele

y

verklaard wordt door het lineaire verband met de verklarende variabele

x

Bij enkelvoudige lineaire regressie (één

x

, één

y

) is het het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt:

R^2 = r^2

Je kunt het ook berekenen uit twee kwadratensommen:

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ is de totale variatie van de $y$ -waarden rond hun gemiddelde
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ is de variatie die overblijft nadat je de regressielijn gebruikt (de kwadratensom van de residuen, in de les Residuen afgekort als SSR)

R^2

ligt altijd tussen

0

1

. Als

R^2 = 0{,}81

, dan wordt **81% van de variatie in

y

verklaard door het lineaire verband met

x

**, en de overige 19% verklaart de lijn niet.

Uitgewerkte voorbeelden

In een groep leerlingen is de correlatie tussen dagelijkse schermtijd (

x

, uren) en uren slaap (

y

) gelijk aan

r = -0{,}7

. Bereken

R^2

en leg uit wat het betekent.

Kwadrateer de correlatiecoëfficiënt

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Schrijf het als percentage

0{,}49 = 49\%

→ 49%

Leg uit in de context

49% van de variatie in uren slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. De andere 51% komt door andere factoren. → 49% verklaard, 51% niet verklaard

Antwoord: $R^2 = 0{,}49$ : 49% van de variatie in slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. Door het kwadrateren verdwijnt het minteken, daarom is $R^2$ nooit negatief.

Veelgemaakte fouten

$r$ als percentage gebruiken: " $r = 0{,}5$ , dus 50% van de variatie wordt verklaard"

Waarom het fout is: Het percentage verklaarde variatie komt uit $R^2$ , niet uit $r$ . Je moet eerst kwadrateren.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , dus maar 25% van de variatie wordt verklaard.

Het teken vergeten als je van $R^2$ terug naar $r$ gaat

Waarom het fout is: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ is altijd positief, maar $r$ kan negatief zijn. $R^2$ verbergt de richting van het verband.

Correct: Neem het teken van de richtingscoëfficiënt: is de richtingscoëfficiënt negatief, dan is $r = -\sqrt{R^2}$ , bijvoorbeeld $r = -0{,}7$ .

Denken dat een hoge $R^2$ bewijst dat $x$ de oorzaak is van $y$

Waarom het fout is: $R^2$ meet alleen hoe goed een lijn bij de data past. Een verstorende variabele kan zowel $x$ als $y$ beïnvloeden.

Correct: Zeg "81% van de variatie in $y$ wordt verklaard door het lineaire verband met $x$ ", nooit " $x$ veroorzaakt 81% van $y$ ". Voor een oorzakelijk verband heb je een gecontroleerd experiment nodig.

Denken dat een hoge $R^2$ betekent dat een rechte lijn het juiste model is

Waarom het fout is: Ook gekromde data kunnen $R^2 = 0{,}96$ geven. $R^2$ laat geen patronen in de residuen zien.

Correct: Kijk altijd naar het residuendiagram. Een willekeurige spreiding ondersteunt de lijn; een U-vorm of een ander patroon betekent dat een ander model beter past.

Waarom het belangrijk is

Zodra je een regressielijn hebt, is de volgende vraag: hoe goed is die?

R^2

geeft het antwoord in één getal.

Wetenschap: onderzoekers vermelden $R^2$ om te laten zien hoe goed een model hun metingen beschrijft
Bedrijfsleven: analisten vergelijken verkoopmodellen en houden het model dat meer variatie verklaart
Sport: trainers controleren hoeveel van de variatie in sprinttijden verklaard wordt door trainingsuren
Geneeskunde: artsen zien hoe sterk een dosis samenhangt met een verandering van de bloeddruk

Weten wat

R^2

niet zegt is net zo belangrijk: een hoge

R^2

bewijst niet dat

x

de oorzaak is van

y

, en ook niet dat een rechte lijn het juiste model is. Je moet nog steeds naar de residuen kijken.

Toepassingen in de echte wereld

Sportanalyse

Trainers vergelijken trainingsgegevens met wedstrijdresultaten om te zien hoeveel van het verschil in prestatie samenhangt met training.

Voorbeeld:

Als de correlatie tussen trainingsuren per week en de tijd op de 100 m gelijk is aan $r = -0{,}85$ , dan is $R^2 = 0{,}7225$ : ongeveer 72% van de variatie in sprinttijden wordt verklaard door het lineaire verband met de trainingsuren.

1Probeer het zelf

Bij een zwemclub is de correlatie tussen trainingsuren per week en de tijd op de 50 m gelijk aan $r = -0{,}9$ .

Hoe groot is $R^2$ ? Geef het als decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kwadrateer de correlatiecoëfficiënt:

Huizenprijzen

Vastgoedanalisten bouwen regressiemodellen voor huizenprijzen en gebruiken $R^2$ om te beoordelen of een model goed genoeg is voor taxaties.

Voorbeeld:

Een model van de prijs op de woonoppervlakte met $R^2 = 0{,}70$ verklaart 70% van de variatie in prijzen; de overige 30% komt door ligging, staat van onderhoud en andere factoren.

2Probeer het zelf

Voor een model van appartementsprijzen op de woonoppervlakte is de totale variatie $SS_{\text{tot}} = 500$ en de kwadratensom van de residuen $SS_{\text{res}} = 75$ (allebei in duizenden € in het kwadraat).

Hoe groot is $R^2$ ? Geef het als decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Geneeskunde en dosering

In klinisch onderzoek controleren onderzoekers hoe sterk de dosis van een medicijn samenhangt met de verandering van een meetwaarde zoals de bloeddruk.

Voorbeeld:

Als een hogere dosis samengaat met een lagere bloeddruk (negatieve richtingscoëfficiënt) en $R^2 = 0{,}36$ , dan is $r = -0{,}6$ : een matig negatief lineair verband.

3Probeer het zelf

Een onderzoek laat zien dat een hogere dosis samengaat met een lagere bloeddruk. De regressielijn heeft een negatieve richtingscoëfficiënt en $R^2 = 0{,}64$ .

Hoe groot is de correlatiecoëfficiënt $r$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Neem de wortel en kies het teken met de richtingscoëfficiënt:

Belangrijke punten

1De determinatiecoëfficiënt $R^2$ is het deel van de variatie in $y$ dat verklaard wordt door het lineaire verband met $x$
2Bij enkelvoudige lineaire regressie geldt $R^2 = r^2$ : kwadrateren van de correlatiecoëfficiënt geeft $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ vergelijkt de overgebleven variatie met de totale variatie
4 $R^2$ ligt tussen $0$ en $1$ : $R^2 = 0{,}81$ betekent dat 81% van de variatie in $y$ verklaard wordt
5Om van $R^2$ terug te gaan naar $r$ , neem je $\sqrt{R^2}$ met het teken van de richtingscoëfficiënt
6Een hoge $R^2$ bewijst geen oorzakelijk verband en geen juist model: controleer altijd het residuendiagram

Veelgestelde vragen

Kan R² negatief zijn?

Niet bij een regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode zoals in deze les:

SS_{\text{res}}

is nooit groter dan

SS_{\text{tot}}

, dus

R^2

blijft tussen

0

1

. Ook het kwadrateren van

r

geeft altijd een getal dat

0

of groter is.

Wat is een goede R²?

Dat hangt af van het vakgebied. Bij natuurkunde-experimenten zijn waarden boven

0{,}95

gewoon. Als je mensen onderzoekt (gedrag, gezondheid, economie), kan een

R^2

van

0{,}30

al nuttig zijn, omdat mensen door veel factoren beïnvloed worden.

Is R² altijd gelijk aan r²?

Ja bij enkelvoudige lineaire regressie met één verklarende variabele, en daar gaat deze les over. Met meerdere verklarende variabelen is er niet één

r

, maar

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

werkt nog steeds.

Waarom zegt R² niets over de richting van het verband?

Omdat kwadrateren het teken weghaalt:

r = 0{,}8

r = -0{,}8

geven allebei

R^2 = 0{,}64

. De richting zie je aan de richtingscoëfficiënt van de regressielijn of aan

r

zelf.

Woordenlijst

Determinatiecoëfficiënt ( $R^2$ ): Het deel van de variatie in $y$ dat verklaard wordt door het lineaire verband met $x$ ; een getal van $0$ tot $1$
Totale kwadratensom ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : de totale variatie van de $y$ -waarden rond hun gemiddelde
Kwadratensom van de residuen ( $SS_{\text{res}}$ , ook SSR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : de variatie die overblijft nadat je de regressielijn gebruikt
Residu: Het verschil tussen een waargenomen en een voorspelde waarde: $y_i - \hat{y}_i$
Verklaarde variatie: Het deel van de totale variatie in $y$ dat de regressielijn beschrijft: $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Formulekaart

R² uit r

R^2 = r^2

Bij enkelvoudige lineaire regressie: kwadrateer de correlatiecoëfficiënt

R² uit kwadratensommen

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Eén min het deel van de variatie dat overblijft

Totale kwadratensom

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Gekwadrateerde afstanden van de y-waarden tot hun gemiddelde

Kwadratensom van de residuen

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Gekwadrateerde afstanden van de y-waarden tot de regressielijn

r uit R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Gebruik het teken van de richtingscoëfficiënt van de regressielijn

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Determinatiecoëfficiënt (R²)

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Sportanalyse

Huizenprijzen

Geneeskunde en dosering

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

R² uit r

R² uit kwadratensommen

Totale kwadratensom

Kwadratensom van de residuen

r uit R²

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Lineaire regressie

Spreidingsdiagrammen

Lijn van beste passing