Docentenhandleiding: Verticale verschuiving

Leer hoe de constante D in y = A sin(x) + D een sinus- of cosinusgolf omhoog of omlaag schuift, de middellijn vastlegt en het maximum, het minimum en het bereik bepaalt.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Trigonometrische grafieken. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Beschrijven hoe de constante D in $y = A\sin(x) + D$ en $y = A\cos(x) + D$ de grafiek verschuift
De middellijn $y = D$ aflezen uit een vergelijking of een grafiek
Het maximum, het minimum en het bereik van een verschoven sinus- of cosinusfunctie bepalen
D en |A| berekenen uit een gegeven maximum en minimum
Eenvoudige sinusoïdale modellen opstellen voor getijden, reuzenraderen en dagtemperaturen

Vereisten

• De grafiek van $y = \sin(x)$ tekenen (les De sinusfunctie grafisch weergeven)
• De grafiek van $y = \cos(x)$ tekenen (les De cosinusfunctie tekenen)
• Amplitude $|A|$ en periode $\frac{2\pi}{|B|}$ (les Amplitude en periode)
• Absolute waarde en intervalnotatie

Discussiestarters

1. Waarom is de middellijn van de hoogtefunctie van een reuzenrad de hoogte van het midden van het rad?
2. Als je alleen de hoogste en de laagste temperatuur van een dag kent, wat weet je dan van het model, en wat ontbreekt er nog?
3. Wat verandert het bereik meer: A verdubbelen of 2 bij D optellen? Leg uit met een voorbeeld.
4. Kunnen twee verschillende vergelijkingen van de vorm $y = A\sin(x) + D$ hetzelfde bereik hebben? Wat hebben ze gemeen?

Veelvoorkomende misvattingen

De amplitude is de grootste waarde (bij $y = 2\sin(x) + 5$ zou de amplitude 7 zijn)

Herstel: Teken eerst de middellijn en meet de amplitude daarvandaan met een liniaal. Vergelijk $y = 2\sin(x)$ en $y = 2\sin(x) + 5$ : even hoge golf, andere plek.

Een negatieve A maakt het maximum gelijk aan $D + A$

Herstel: Teken $y = -3\sin(x) + 1$ naast $y = 3\sin(x) + 1$ en laat beide maxima in de tekening aflezen. Ze zijn gelijk, dus de formule moet $|A|$ gebruiken.

$\sin(x + 2)$ en $\sin(x) + 2$ zijn dezelfde verschuiving

Herstel: Maak een tabel voor beide bij $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ . Alleen $\sin(x) + 2$ telt 2 op bij elke uitkomst; de andere schuift de golf opzij.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met $A = 1$ en verander alleen D, in de doelgolf-modus zie je de hele golf verschuiven
• Teken altijd eerst de middellijn gestippeld voordat je maximum en minimum markeert
• Gebruik een tabel met twee rijen: middellijn, daarna middellijn plus en min de amplitude

Voor leerlingen op niveau:

• A en D bepalen uit maximum en minimum en controleren met de grafiek
• Een reuzenrad modelleren met gegeven diameter en hoogte van het platform
• Het bereik van verschoven functies in intervalnotatie opschrijven

Voor gevorderde leerlingen:

• Een volledig model $y = A\sin(Bt) + D$ opstellen uit een echte getijdentabel, inclusief periode
• Alle waarden van D vinden waarvoor $y = 3\sin(x) + D$ de x-as nooit raakt
• Een sinusmodel en een cosinusmodel voor hetzelfde reuzenrad vergelijken

Standaarduitlijning

HSF.TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Goniometrische functies kiezen om periodieke verschijnselen met gegeven amplitude, frequentie en middellijn te modelleren
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek bepalen van het vervangen van f(x) door f(x) + k voor bepaalde waarden van k
HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Goniometrische functies tekenen en daarbij periode, middellijn en amplitude laten zien

Lesbronnen

visualRaak de doelgolf
Leerlingen bewegen de schuifjes A en D tot hun sinuskromme een gestippelde doelkromme bedekt
activityGetijdentabel-detectives
Leerlingen lezen hoog- en laagwater af in een echte getijdentabel en stellen een model met A en D op
worksheetMiddellijn, maximum, minimum
Twaalf vergelijkingen: middellijn, uitersten en bereik bepalen, daarna de grafiek schetsen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Als je een constante

D

optelt bij een sinus- of cosinusfunctie, schuift de hele golf omhoog of omlaag. Dit heet een verticale verschuiving:

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Als $D > 0$ , schuift de grafiek $D$ eenheden omhoog.
Als $D < 0$ , schuift de grafiek $|D|$ eenheden omlaag.
De vorm, de amplitude en de periode veranderen niet.

De middellijn

De middellijn (ook evenwichtslijn genoemd) is de horizontale lijn waar de golf omheen schommelt. Bij

y = \sin(x)

is dat de x-as (

y = 0

). Na de verschuiving is het

\text{middellijn: } y = D

Maximum, minimum en bereik

De golf komt

|A|

eenheden boven en onder de middellijn:

Kenmerk	Formule
Middellijn	$y = D$
Maximum	$D +	A
Minimum	$D -	A
Bereik	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Andersom: A en D uit gegevens

Als je de hoogste en de laagste waarde kent, ligt de middellijn precies halverwege en is de amplitude de helft van het verschil:

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

In de algemene vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D

is de verticale verschuiving altijd de laatste letter,

D

. Nederlandse schoolboeken schrijven vaak

y = a + b\sin(c(x - d))

; daar is

a

de verschuiving, maar hier houden we

A

B

C

D

aan. In deze les is

B = 1

C = 0

, behalve als een echte situatie een andere periode nodig heeft.

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal voor

y = 3\sin(x) + 2

de middellijn, het maximum, het minimum en het bereik.

A en D bepalen

Vergelijk met

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

De middellijn opschrijven

De middellijn is

y = D

→

y = 2

Maximum en minimum berekenen

D + |A| = 2 + 3

D - |A| = 2 - 3

→ Maximum

5

, minimum

-1

Het bereik opschrijven

Alle y-waarden van het minimum tot het maximum →

[-1, 5]

Antwoord: Middellijn $y = 2$ , maximum $5$ , minimum $-1$ , bereik $[-1, 5]$ .

Veelgemaakte fouten

Het maximum van $y = -3\sin(x) + 1$ opschrijven als $1 + (-3) = -2$

Waarom het fout is: De golf komt een amplitude boven en onder de middellijn, en de amplitude is altijd positief. Het teken van $A$ spiegelt de golf alleen.

Correct: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

$y = \sin(x) - 2$ lezen als een verschuiving van 2 omhoog

Waarom het fout is: In $y = A\sin(x) + D$ is de verschuiving $D$ met zijn teken. Hier is $D = -2$ .

Correct: $y = \sin(x) - 2$ schuift de golf 2 eenheden omlaag, de middellijn is $y = -2$ .

Het maximum voor de amplitude aanzien: bij $y = 2\sin(x) + 5$ zou de amplitude 7 zijn

Waarom het fout is: De amplitude meet je vanaf de middellijn, niet vanaf de x-as. De verschuiving tilt de golf op, maar maakt hem niet hoger.

Correct: De amplitude is $|A| = 2$ . Het maximum is $5 + 2 = 7$ .

Vergeten door 2 te delen: amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Waarom het fout is: $\text{max} - \text{min}$ is de hele hoogte van het laagste tot het hoogste punt, dus twee amplitudes.

Correct: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ en $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Bij maximum 9 en minimum 3: $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Waarom het belangrijk is

De meeste echte golven schommelen niet rond nul. Ze schommelen rond een typisch niveau, en dat niveau is de verticale verschuiving:

Getijden: het water in een haven stijgt en daalt rond een gemiddelde diepte, bijvoorbeeld tussen 1 m en 5 m rond een middellijn van 3 m.
Reuzenraderen: een gondel gaat op en neer rond de hoogte van het midden van het rad, en komt nooit onder het instapplatform.
Temperatuur over een dag: de temperatuur schommelt rond het daggemiddelde, bijvoorbeeld tussen 12°C en 24°C rond 18°C.
Bloeddruk en hartslag: de druk pulseert tussen ongeveer 80 en 120 rond een middellijn van 100.
Daglengte: de lengte van de dag varieert over het jaar rond ongeveer 12 uur.

Met de formule

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

maak je van twee metingen een bruikbaar model, en aan het bereik zie je in één oogopslag of een model klopt.

Toepassingen in de echte wereld

Reuzenraderen

De hoogte van een gondel in een reuzenrad gaat op en neer als een cosinusgolf. De middellijn is de hoogte van het midden van het rad.

Voorbeeld:

Een rad met een diameter van 40 m waarvan de laagste gondel 2 m boven de grond is, wordt beschreven door $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t in minuten): amplitude 20, middellijn 22, bereik $[2, 42]$ .

1Probeer het zelf

Een reuzenrad heeft een diameter van 40 m. Het laagste punt ligt 2 m boven de grond.

Op welke hoogte ligt de middellijn van de hoogtefunctie (het midden van het rad), in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Neem het gemiddelde van de grootste en de kleinste hoogte:

Getijden

Havenmeesters en zeilers beschrijven de waterstand met een sinus- of cosinusgolf waarvan de middellijn de gemiddelde waterstand is.

Voorbeeld:

Als hoogwater 5{,}2 m is en laagwater 0{,}8 m, dan is de gemiddelde waterstand $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, dus het model heeft $D = 3$ .

2Probeer het zelf

In een haven is hoogwater 5{,}2 m en laagwater 0{,}8 m.

Wat is de amplitude van het getijdenmodel, in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Neem de helft van het verschil tussen hoogwater en laagwater:

Temperatuur over een dag

Weerkundigen beschrijven de temperatuur over 24 uur met een cosinusgolf rond de gemiddelde dagtemperatuur.

Voorbeeld:

Het model $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , met t in uren na 3:00 uur, is om 3:00 uur het koudst en 12 uur later het warmst.

3Probeer het zelf

De temperatuur in een stad wordt beschreven door $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ in °C.

Wat is de hoogste temperatuur van de dag, in °C?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel de amplitude op bij de middellijn:

Belangrijke punten

1Bij $y = A\sin(x) + D$ en $y = A\cos(x) + D$ schuift de constante $D$ de golf omhoog ( $D > 0$ ) of omlaag ( $D < 0$ )
2De middellijn is de horizontale lijn $y = D$ , precies halverwege het maximum en het minimum
3Maximum $= D + |A|$ en minimum $= D - |A|$ , altijd met de absolute waarde van $A$
4Het bereik is $[D - |A|,\ D + |A|]$
5Uit gegevens: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ en $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Een verticale verschuiving verandert de amplitude en de periode niet, alleen de positie van de hele golf

Veelgestelde vragen

Verandert de verticale verschuiving de periode of de amplitude?

Nee.

D

schuift elk punt van de grafiek even ver omhoog of omlaag, dus de golf houdt zijn hoogte en zijn breedte. Alleen de middellijn, het maximum, het minimum en het bereik veranderen.

Is de verticale verschuiving hetzelfde als de middellijn?

Ze komen uit hetzelfde getal. De verschuiving is de beweging (bijvoorbeeld 3 eenheden omhoog), en de middellijn is de lijn waar het midden van de golf terechtkomt (

y = 3

Waarom schuift $\sin(x) + 2$ omhoog, maar $\sin(x + 2)$ niet?

Een getal dat buiten de functie wordt opgeteld, verandert de uitkomst, dus de grafiek beweegt verticaal. Een getal dat binnen bij

x

wordt opgeteld, verandert de invoer, dus de grafiek beweegt opzij. Die zijwaartse beweging is de faseverschuiving, uitgelegd in de les Faseverschuiving.

Kan een verschoven sinusgolf helemaal boven de x-as blijven?

Ja, als

D > |A|

. Dan is het minimum

D - |A|

positief. Zo komt

y = 2\sin(x) + 5

nooit onder

3

. Hoogtes in een reuzenrad en waterdieptes bij getijden gedragen zich zo.

Woordenlijst

Verticale verschuiving: De hele grafiek omhoog of omlaag schuiven door een constante $D$ bij de functie op te tellen
Middellijn: De horizontale lijn $y = D$ halverwege de grootste en de kleinste waarde van een golf (ook evenwichtslijn genoemd)
Maximum: De hoogste y-waarde van de golf, $D + |A|$
Minimum: De laagste y-waarde van de golf, $D - |A|$
Bereik: Alle y-waarden die de functie aanneemt: $[D - |A|,\ D + |A|]$ bij een verschoven sinus of cosinus
Sinusoïdaal model: Een sinus- of cosinusfunctie die een zich herhalende echte situatie beschrijft, zoals getijden of temperatuur

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D schuift de golf omhoog (D > 0) of omlaag (D < 0)

Middellijn

y = D

De lijn waar de golf omheen schommelt

Maximum en minimum

D + |A|

D - |A|

Hoogste en laagste waarde van de golf

Bereik

[D - |A|,\ D + |A|]

Alle uitkomsten

Uit gegevens

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Middellijn en amplitude uit de hoogste en laagste waarde

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Verticale verschuiving

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

De middellijn

Maximum, minimum en bereik

Andersom: A en D uit gegevens

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Reuzenraderen

Getijden

Temperatuur over een dag

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

Middellijn

Maximum en minimum

Bereik

Uit gegevens

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode