Leitfaden für Lehrer: Quotientenregel für Logarithmen

Lerne, warum der Logarithmus eines Quotienten eine Differenz von Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen und Zusammenfassen.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Quotientenregel für Logarithmen und die Bedingungen an $M$ , $N$ und die Basis angeben
Erklären, warum die Regel aus dem Potenzgesetz $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ folgt
Logarithmen von Quotienten in Differenzen zerlegen, auch zusammen mit der Produktregel
Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen und berechnen
Die Fehler $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ und $\log(M - N) = \log M - \log N$ erkennen und korrigieren

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus: $\log_b y = x$ bedeutet $b^x = y$
• Produktregel für Logarithmen: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Potenzgesetze, besonders $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
• Logarithmen exakter Potenzen berechnen, etwa $\log_2 32$ oder $\log 1000$

Diskussionsstarter

1. Die Produktregel macht aus einer Multiplikation eine Addition. Was vermutest du, bevor du die Quotientenregel siehst, passiert mit einer Division?
2. Warum verschwindet der Bezugswert $I_0$ , wenn man zwei Dezibelwerte subtrahiert?
3. Ist $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ dasselbe wie $\log\left(\dfrac{N}{M}\right)$ ? Wie hängen die beiden zusammen?
4. Eine Mitschülerin schreibt $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$ . Wie überzeugst du sie mit einer einzigen Rechnung, dass das falsch ist?

Häufige Missverständnisse

Glauben, ein Bruch aus zwei Logarithmen lasse sich wie der Logarithmus eines Bruchs vereinfachen

Abhilfe: Stelle $\dfrac{\log 100}{\log 10}$ und $\log\left(\dfrac{100}{10}\right)$ nebeneinander und berechne beide ( $2$ gegenüber $1$ ). Betone, wo der Bruchstrich steht: im Logarithmus oder zwischen zwei Logarithmen.

Glauben, der Logarithmus lasse sich über eine Subtraktion verteilen, also $\log(M - N) = \log M - \log N$

Abhilfe: Lass die Lernenden es im Rechner testen ( $\log 90$ gegenüber $1$ ) und vergleiche mit $\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Die Regeln verbinden nur Rechenarten IM Logarithmus (multiplizieren, dividieren) mit Rechenarten AUSSERHALB (addieren, subtrahieren).

Den Logarithmus eines zweiten Nennerfaktors addieren, etwa $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Abhilfe: Lass die Lernenden zuerst $\log M - \log(NP)$ mit Klammern schreiben und dann die Klammer auflösen. Prüfe mit Zahlen wie $M = 100$ , $N = 2$ , $P = 5$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Zuerst nur mit exakten Potenzen arbeiten ( $\log_2 32 - \log_2 4$ ), damit jeder Schritt von Hand prüfbar ist
• Zähler und Nenner farbig markieren und dieselben Farben für die Plus- und Minusterme verwenden
• Den umgeformten Term vor dem nächsten Schritt immer mit einem Rechnerbeispiel prüfen

Für Schüler auf Niveau:

• Quotienten mit Variablen zerlegen, etwa $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$
• Quotienten- und Produktregel in beiden Richtungen kombinieren
• Mit gegebenen Werten wie $\log_b 2$ und $\log_b 5$ die Werte $\log_b 2{,}5$ oder $\log_b 0{,}4$ bestimmen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Quotientenregel mit $\dfrac{M}{N} = M \cdot \dfrac{1}{N}$ aus der Produktregel beweisen
• Mit der Quotientenregel erklären, warum der Graph von $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ der um $\log a$ nach unten verschobene Graph von $y = \log x$ ist
• Die Formel für den Dezibelunterschied zweier Geräusche herleiten und auf echte Daten anwenden

Standardausrichtung

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrfunktionen verstehen und damit Aufgaben zu Logarithmen und Potenzen lösen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zum Umformen zu erkennen
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung eines exponentiellen Modells als Logarithmus ausdrücken und berechnen

Lektionsressourcen

visualDeckungsgleiche Graphen
Zeichne $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ und $y = \log x - \log a$ mit einem Schieberegler für $a$ : Die Kurven fallen zusammen, $y = \dfrac{\log x}{\log a}$ dagegen nicht
activityWahr-oder-falsch-Kartensortierung
Die Lernenden prüfen Aussagen wie $\log(M - N) = \log M - \log N$ mit dem Rechner und sortieren sie in Regeln und Fallen
worksheetZerlegen und Zusammenfassen
Aufgabenpaare: einen Quotienten zerlegen, das Ergebnis wieder zusammenfassen und prüfen, dass man beim Ausgangsterm ankommt

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Quotientenregel für Logarithmen besagt: Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers minus der Logarithmus des Nenners.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Die Regel gilt für

M > 0

N > 0

und eine Basis

b > 0

mit

b \neq 1

Warum sie gilt: Ein Logarithmus ist ein Exponent. Setze

\log_b M = x

und

\log_b N = y

, also

M = b^x

und

N = b^y

. Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

Sie ist die Zwillingsregel der Produktregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): Multiplizieren im Logarithmus wird zu Addieren außerhalb, Dividieren im Logarithmus wird zu Subtrahieren außerhalb.

Beispiel:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, und tatsächlich ist

\log_2 8 = 3

Du kannst die Regel in zwei Richtungen verwenden:

Zerlegen: einen Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz aufteilen, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Zusammenfassen: eine Differenz zu einem Logarithmus vereinen, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Lösungsbeispiele

Zeige, dass $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ gilt.

Linke Seite direkt berechnen

$\dfrac{32}{4} = 8$ und $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Jeden Logarithmus auf der rechten Seite berechnen

$2^5 = 32$ und $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Subtrahieren

$5 - 2 = 3$

Beide Seiten vergleichen

Linke Seite $3$ , rechte Seite $3$ → Beide Seiten sind gleich

Antwort: Beide Seiten ergeben $3$ , also gilt $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Häufige Fehler

$\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ schreiben

Warum es falsch ist: Ein Quotient zweier Logarithmen ist nicht der Logarithmus eines Quotienten. Probiere es aus: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , aber $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Richtig: Die Regel macht aus einer Division IM Logarithmus eine Subtraktion: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . Für den Bruch $\dfrac{\log M}{\log N}$ gibt es keine solche Abkürzung.

$\log(M - N) = \log M - \log N$ schreiben

Warum es falsch ist: Die Regel handelt von einem Quotienten im Logarithmus, nicht von einer Differenz. Probiere es aus: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , aber $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Richtig: Es gibt keine Regel, die $\log(M - N)$ aufteilt. Nur $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ wird zu $\log M - \log N$ .

In falscher Reihenfolge subtrahieren: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Warum es falsch ist: Die Subtraktion ist nicht kommutativ, die Reihenfolge zählt. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , aber $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Richtig: Zuerst der Zähler, minus der Nenner: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

$\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$ schreiben

Warum es falsch ist: Sowohl $N$ als auch $P$ stehen im Nenner, also werden beide Logarithmen subtrahiert. Das $+$ behandelt $P$ , als stünde es im Zähler.

Richtig: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Setze Klammern: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Warum es wichtig ist

Die Quotientenregel macht aus einer Division eine Subtraktion, und genau das brauchen viele Formeln:

Zwei Messwerte vergleichen: Dezibel, pH-Wert und Richterskala vergleichen eine Größe mit einem Bezugswert über $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . Die Quotientenregel zeigt, dass der Unterschied zweier Werte nur vom Verhältnis der beiden Größen abhängt.
Schall: Zwei Geräusche, deren Intensitäten im Verhältnis $1000$ stehen, unterscheiden sich um $10 \log 1000 = 30$ Dezibel, egal wie laut sie sind.
Chemie: Zwei Lösungen, deren Wasserstoffionen-Konzentrationen sich um den Faktor $100$ unterscheiden, liegen auf der pH-Skala genau $2$ auseinander.
Terme vereinfachen: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ in $\log a + \log b - \log c$ zu zerlegen, macht spätere Algebra (und Analysis) viel einfacher.
Gleichungen lösen: $\log_3 x - \log_3 4$ zu $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ zusammenzufassen, ist oft der erste Schritt beim Lösen einer Logarithmusgleichung.

Zusammen mit der Produktregel und der Potenzregel kannst du mit der Quotientenregel fast jeden Logarithmusterm in die Form bringen, die du brauchst.

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel vergleichen

Der Schallpegel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ Dezibel, wobei $I$ die Intensität und $I_0$ ein fester Bezugswert ist. Nach der Quotientenregel ist die Differenz zweier Pegel $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: Der Bezugswert $I_0$ fällt weg.

Beispiel:

Ein Geräusch mit 100-facher Intensität eines anderen ist $10 \log 100 = 20$ Dezibel lauter.

1Probiere es selbst

Ein Lautsprecher erzeugt eine Intensität von $I_A = 0{,}01$ W/m², eine ruhige Straße $I_B = 0{,}00001$ W/m².

Um wie viele Dezibel ist der Lautsprecher lauter als die Straße?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Säuregrad mit dem pH-Wert vergleichen

In der Chemie gilt $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Wasserstoffionen-Konzentration ist. Nach der Quotientenregel ist der pH-Unterschied zweier Lösungen der Logarithmus des Verhältnisses ihrer Konzentrationen.

Beispiel:

Kaffee hat $[H^+] = 10^{-5}$ , reines Wasser $10^{-7}$ . Der pH-Unterschied ist $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 gegenüber pH 7).

2Probiere es selbst

Tomatensaft hat $[H^+] = 10^{-4}$ , reines Wasser hat $[H^+] = 10^{-7}$ .

Um wie viel ist der pH-Wert von Tomatensaft niedriger als der von Wasser?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Erdbeben auf der Richterskala vergleichen

Die Richter-Magnitude ist $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, wobei $A$ die Amplitude der Bodenbewegung und $A_0$ eine Bezugsamplitude ist. Für zwei Erdbeben, die in gleicher Entfernung gemessen werden, liefert die Quotientenregel $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Beispiel:

Hat ein Erdbeben die 10-fache Amplitude eines anderen, ist seine Magnitude um $\log 10 = 1$ höher.

3Probiere es selbst

Zwei Erdbeben werden in gleicher Entfernung aufgezeichnet. Das erste hat die Amplitude $A_1 = 50000$ Mikrometer, das zweite $A_2 = 500$ Mikrometer. Das zweite Erdbeben hat die Magnitude $4$ .

Welche Magnitude hat das erste Erdbeben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Quotientenregel: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ für $M, N > 0$
2Sie folgt aus dem Potenzgesetz $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : Beim Dividieren von Potenzen werden Exponenten subtrahiert
3Zerlegen teilt den Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz auf; Zusammenfassen vereint eine Differenz zu einem Logarithmus
4Zuerst der Zähler: Abgezogen wird immer der Logarithmus des Nenners
5Mit der Produktregel: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ und $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ und $\log(M - N)$ sind NICHT gleich $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Häufig gestellte Fragen

Müssen beide Logarithmen dieselbe Basis haben?

Ja.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

gilt nur, wenn beide Terme dieselbe Basis

b

haben. Eine Differenz wie

\log_2 8 - \log_3 9

lässt sich mit dieser Regel nicht zu einem Logarithmus zusammenfassen.

Was passiert, wenn der Quotient kleiner als 1 ist?

Dann ist der Logarithmus negativ (bei einer Basis größer als 1), und die Regel zeigt, warum:

\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3

. Allgemein gilt

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Kann ich $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ zerlegen?

Ja, für

x > 2

\log x - \log(x - 2)

. Aber

\log(x - 2)

bleibt so stehen, denn für den Logarithmus einer Differenz gibt es keine Regel.

Warum heißt sie Zwillingsregel der Produktregel?

Durch

N

dividieren heißt mit

\dfrac{1}{N}

multiplizieren, also

\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N

. Jeder Schritt mit der Quotientenregel ist ein versteckter Schritt mit der Produktregel.

Glossar

Quotientenregel: Das Logarithmengesetz $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ für $M, N > 0$
Quotient: Das Ergebnis einer Division; in $\dfrac{M}{N}$ ist $M$ der Zähler und $N$ der Nenner
Zerlegen: Einen Logarithmus eines Produkts oder Quotienten als Summe oder Differenz einfacherer Logarithmen schreiben
Zusammenfassen: Eine Summe oder Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis zu einem einzigen Logarithmus vereinen
Argument (Numerus): Die Zahl im Logarithmus, etwa $M$ in $\log_b M$ ; sie muss positiv sein

Formelkarte

Quotientenregel

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Für $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Kehrwert

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Sonderfall mit $M = 1$, weil $\log_b 1 = 0$

Mit der Produktregel

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Faktoren im Zähler werden addiert, Faktoren im Nenner subtrahiert

Keine Regel

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Ein Quotient von Logarithmen ist nicht der Logarithmus eines Quotienten

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Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel vergleichen

Säuregrad mit dem pH-Wert vergleichen

Erdbeben auf der Richterskala vergleichen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Quotientenregel

Kehrwert

Mit der Produktregel

Keine Regel

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