Leitfaden für Lehrer: Streudiagramme

Lerne, wie du aus einer Tabelle ein Streudiagramm erstellst und das Muster beschreibst: Form, Richtung, Stärke, Gruppen, Lücken und Ausreißer.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Regression. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die erklärende Variable und die Zielvariable in einem Datensatz bestimmen
Passende Achsen und gleichmäßige Skalen für ein Streudiagramm wählen
Ein Streudiagramm aus einer Tabelle erstellen und die Koordinaten von Punkten ablesen
Form, Richtung und Stärke eines Zusammenhangs beschreiben
Gruppen, Lücken und Ausreißer erkennen und erklären, was sie bedeuten können

Voraussetzungen

• Geordnete Paare im Koordinatensystem eintragen
• Einführung in die Korrelation (positive, negative und keine Korrelation)
• Einführung in die Regression (wozu eine Ausgleichsgerade dient)
• Datentabellen lesen und den größten und kleinsten Wert finden

Diskussionsstarter

1. Wenn du deine Schlafstunden gegen deine Laune einträgst, welche Variable kommt auf die $x$ -Achse, und warum?
2. Warum verbinden wir die Punkte in einem Streudiagramm wohl nie?
3. Kann ein Muster stark sein und trotzdem einen Ausreißer haben? Kannst du eines skizzieren?
4. Was könnte zwei Gruppen in einem Diagramm von Hausaufgabenzeit und Testpunkten erklären?

Häufige Missverständnisse

Die zuerst in der Tabelle genannte Variable kommt immer auf die $x$ -Achse

Abhilfe: Zeige eine Tabelle, in der die Zielvariable zuerst steht (zum Beispiel Punkte, dann Stunden). Lass fragen, welche die andere beeinflussen könnte, bevor die Achsen festgelegt werden.

Ein Streudiagramm muss eine Gerade zeigen

Abhilfe: Tragt gemeinsam die Bremswegdaten ein. Lass die Lernenden die Kurve sehen und führe den Begriff nicht linear für Muster ein, die sich biegen.

Ein Ausreißer ist ein Fehler und muss gelöscht werden

Abhilfe: Besprecht den Schüler mit 60 Minuten Hausaufgaben und 2 Punkten. Sammelt echte Gründe (Krankheit, falsche Dateneingabe) und entscheidet gemeinsam, wann ein Punkt bleiben sollte.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Vorgezeichnete Achsen mit bereits markierten Skalen bereitstellen
• Kleine Datensätze mit 4 bis 5 Punkten und ganzen Zahlen verwenden
• Satzanfänge vorgeben: 'Je größer ___ ist, desto ___ ist meistens ___'

Für Schüler auf Niveau:

• Achsen und Skalen für Daten wählen, die nicht in der Nähe von 0 beginnen
• Form, Richtung und Stärke für mehrere Diagramme beschreiben
• Gruppen, Lücken und Ausreißer in einem echten Klassendatensatz finden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Eigene Daten zu zwei Variablen sammeln und das Streudiagramm präsentieren
• Ein lineares und ein nicht lineares Muster anhand der Änderungen von $y$ vergleichen
• Untersuchen, wie sich die Beschreibung ändert, wenn man einen Ausreißer entfernt

Standardausrichtung

8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)
Streudiagramme für bivariate Messdaten erstellen und interpretieren, um Zusammenhänge zwischen zwei Größen zu untersuchen. Muster wie Gruppenbildung, Ausreißer, positive oder negative Zusammenhänge sowie lineare und nicht lineare Zusammenhänge beschreiben
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Daten zu zwei quantitativen Variablen in einem Streudiagramm darstellen und beschreiben, wie die Variablen zusammenhängen

Lektionsressourcen

visualGitter zum Antippen
Die Lernenden tragen die Daten zu Haushaltsgröße und Waschladungen Punkt für Punkt ein und erhalten zu jedem Punkt eine Rückmeldung
activityVermesst eure Klasse
Paare messen Körpergröße und Armspannweite, dann erstellt die Klasse ein gemeinsames Streudiagramm an der Tafel
worksheetBeschreibe das Muster
Acht Streudiagramme, die nach Form, Richtung, Stärke und Besonderheiten beschrieben werden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Streudiagramm ist ein Diagramm, das den Zusammenhang zwischen zwei Zahlenmerkmalen zeigt, die an denselben Personen oder Objekten gemessen wurden. Jede Person wird zu einem Punkt

(x, y)

Die erklärende Variable (die die andere erklären oder beeinflussen kann) kommt auf die **waagerechte $x$ -Achse**.
Die Zielvariable (die darauf reagiert) kommt auf die **senkrechte $y$ -Achse**.

So erstellst du ein Streudiagramm aus einer Tabelle:

1.Lege fest, welche Variable $x$ und welche $y$ ist.
2.Wähle für jede Achse eine Skala mit gleich großen Schritten, die alle Werte abdeckt.
3.Beschrifte beide Achsen mit dem Namen der Variable und der Einheit.
4.Trage für jede Zeile der Tabelle einen Punkt ein. Verbinde die Punkte nicht.

Um ein Streudiagramm zu beschreiben, achte auf:

Form: Folgen die Punkte einer Geraden (linear) oder einer Kurve (nicht linear)?
Richtung: Steigen sie von links nach rechts (positiv) oder fallen sie (negativ)?
Stärke: Liegen die Punkte nah am Muster (stark), locker darum herum (mäßig) oder weit verstreut (schwach)?
Besonderheiten: Gruppen (Cluster, also Punkthaufen), Lücken (leere Bereiche) und Ausreißer (Punkte weit weg vom Muster).

Lösungsbeispiele

Ein Basketballtrainer notiert, wie viele Stunden sieben Spieler pro Woche trainieren und wie viele Freiwürfe (von 20) jeder trifft:

Spieler	A	B	C	D	E	F	G
Stunden	1	2	3	4	5	6	7
Freiwürfe	6	8	9	11	12	14	15

Welche Variable kommt auf welche Achse, und welche Skalen solltest du verwenden?

Finde die erklärende Variable

Das Training kann die Zahl der Freiwürfe beeinflussen, nicht umgekehrt →

x

= Trainingsstunden,

y

= getroffene Freiwürfe

Bestimme den Bereich jeder Variable

Stunden: von

1

bis

7

. Freiwürfe: von

6

bis

15

→

x

muss mindestens bis

7

reichen,

y

mindestens bis

15

Wähle gleich große Schritte

x

-Achse:

0

bis

8

in Schritten von

1

y

-Achse:

0

bis

20

in Schritten von

2

(niemand kann mehr als 20 Freiwürfe treffen, und

20 \div 2 = 10

gleiche Schritte) → Beide Achsen haben gleichmäßige Abstände

Beschrifte die Achsen

x

: Training pro Woche (Stunden).

y

: Getroffene Freiwürfe (von 20) → Die Achsen sind bereit zum Eintragen

Antwort: Trage die **Trainingsstunden auf der $x$ -Achse ein (0 bis 8, Schritte von 1) und die Freiwürfe auf der $y$ -Achse** (0 bis 20, Schritte von 2), mit Beschriftung und Einheit an jeder Achse.

Häufige Fehler

Die Zielvariable auf die $x$ -Achse legen

Warum es falsch ist: Die Achsen haben verschiedene Aufgaben. Wenn du die Freiwürfe auf der $x$ -Achse und das Training auf der $y$ -Achse einträgst, sieht es so aus, als würden die Freiwürfe die Trainingszeit erklären.

Richtig: Frage dich: Welche Variable könnte die andere beeinflussen? Das ist die erklärende Variable, und sie kommt auf die $x$ -Achse.

Ungleiche Schritte auf einer Achse verwenden (zum Beispiel 0, 5, 10, 20, 50)

Warum es falsch ist: Ungleiche Abstände drücken manche Punkte zusammen und ziehen andere auseinander, also siehst du ein falsches Muster.

Richtig: Verwende auf jeder Achse durchgehend denselben Schritt, zum Beispiel 0, 10, 20, 30, 40, 50. Die beiden Achsen dürfen verschiedene Schritte haben.

Die Punkte wie bei einem Liniendiagramm mit Linien verbinden

Warum es falsch ist: Die Zeilen der Tabelle sind einzelne Personen, keine Zeitpunkte. Wer sie verbindet, erfindet einen Weg, den es nicht gibt.

Richtig: Lass die Punkte einzeln stehen. Beschreibe das Gesamtmuster in Worten (in der nächsten Lektion zeichnest du eine Ausgleichsgerade).

Denken, ein steiles Muster sei ein starkes Muster

Warum es falsch ist: Die Steigung sagt, wie schnell sich $y$ ändert. Die Stärke sagt, wie eng die Punkte dem Muster folgen. Ein flaches Muster kann sehr stark sein, ein steiles schwach.

Richtig: Beurteile die Stärke danach, wie eng die Punkte an der Geraden oder Kurve liegen, nicht nach der Steilheit.

Warum es wichtig ist

Streudiagramme zeichnen Forschende, Trainer und Analysten als Erstes, wenn zwei Messgrößen zusammenhängen könnten:

Sport: Ein Trainer trägt Trainingsstunden gegen erzielte Punkte ein und sieht, ob sich das Training lohnt
Gesundheit: Ärzte tragen das Alter gegen den Blutdruck ein, um zu sehen, wie er sich im Laufe des Lebens verändert
Wetter: Meteorologen tragen die Höhe gegen die Temperatur ein (sie sinkt um etwa $6°C$ pro Kilometer)
Wirtschaft: Ein Laden trägt die Temperatur gegen den Eisverkauf ein, um die Bestellung zu planen
Naturwissenschaft: Physiker tragen die Geschwindigkeit gegen den Bremsweg ein und entdecken eine Kurve, keine Gerade

Ein Streudiagramm zeigt das ganze Bild auf einmal: das allgemeine Muster, die Punkte, die herausfallen, und die Gruppen, die in den Daten stecken. Es ist der Ausgangspunkt für die Korrelation und für die Ausgleichsgerade in den nächsten Lektionen.

Anwendungen im echten Leben

Sportwissenschaft: Körpergröße und Armspannweite

Trainer im Schwimmen und Basketball tragen die Körpergröße gegen die Armspannweite ein, weil eine große Spannweite in beiden Sportarten ein Vorteil ist.

Beispiel:

Bei den meisten Menschen ist die Armspannweite fast gleich der Körpergröße, also liegen die Punkte nah an einer steigenden Geraden: ein starkes, positives, lineares Muster.

1Probiere es selbst

Du willst die Armspannweiten einer Mannschaft eintragen. Sie liegen zwischen $148$ cm und $182$ cm. Deine $y$ -Achse beginnt bei $140$ cm und hat $10$ Kästchen.

Welchen Schritt soll jedes Kästchen darstellen (wähle aus den runden Schritten 1, 2, 5 oder 10)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den Schritt für ein Kästchen ein:

Wetter: Höhe und Temperatur

Bergführer und Piloten wissen, dass die Luft kälter wird, je höher man kommt. Ein Streudiagramm von Höhe und Temperatur zeigt, wie schnell.

Beispiel:

Wetterballons messen beim Aufstieg alle paar hundert Meter die Temperatur. Zusammen eingetragen liegen die Messwerte fast auf einer fallenden Geraden.

2Probiere es selbst

Eine Wanderin misst die Temperatur in vier Höhen: $(0, 20)$ , $(1, 14)$ , $(2, 7)$ , $(3, 1)$ , mit der Höhe in km und der Temperatur in °C.

Wie würdest du das Streudiagramm beschreiben?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle die beste Beschreibung:

Wirtschaft: Einen Ausreißer finden

Geschäfte tragen die Zahl der Social-Media-Beiträge pro Woche gegen die Zahl neuer Kunden ein, um zu sehen, ob Werbung wirkt, und um Wochen zu finden, die nicht passen.

Beispiel:

Eine Woche mit vielen Beiträgen, aber sehr wenigen Kunden fällt als Ausreißer auf. Oft gibt es einen Grund: Feiertage, ein Problem mit der Webseite oder schlechtes Wetter.

3Probiere es selbst

Eine Bäckerei notiert fünf Wochen als (Beiträge, neue Kunden): $(2, 30)$ , $(4, 42)$ , $(6, 54)$ , $(8, 66)$ , $(10, 20)$ .

Wie viele Beiträge gab es in der Woche, die ein Ausreißer ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib den $x$ -Wert des Ausreißers ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Streudiagramm zeigt zwei Zahlenmerkmale: Jede Person oder jedes Objekt ist ein Punkt $(x, y)$
2Die erklärende Variable kommt auf die $x$ -Achse, die Zielvariable auf die $y$ -Achse
3Jede Achse braucht gleich große Schritte, eine Beschriftung und eine Einheit; die beiden Achsen dürfen verschiedene Skalen haben
4Trage pro Zeile einen Punkt ein und verbinde die Punkte nie
5Beschreibe das Muster nach Form (linear oder nicht linear), Richtung (positiv oder negativ) und Stärke (stark, mäßig, schwach)
6Achte auf Besonderheiten: Gruppen, Lücken und Ausreißer

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Streudiagramm und einem Liniendiagramm?

Ein Liniendiagramm verfolgt eine Größe über die Zeit, daher ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden. Ein Streudiagramm vergleicht zwei Variablen bei vielen einzelnen Personen oder Objekten, daher bleiben die Punkte unverbunden.

Müssen beide Achsen bei 0 beginnen?

Nein. Wenn alle Körpergrößen zwischen 148 und 182 cm liegen, nutzt ein Achsenbeginn bei 140 den Platz besser. Halte nur die Schritte gleich groß und zeige den Startwert deutlich an der Achse.

Was, wenn keine Variable die andere erklärt?

Manchmal, wie bei Körpergröße und Armspannweite, verursacht keine die andere. Dann darfst du jede der beiden Variablen für die

x

-Achse wählen. Nimm die, mit der du die andere am ehesten schätzen würdest.

Soll ich einen Ausreißer löschen?

Nicht automatisch. Prüfe zuerst, ob es ein Fehler in den Daten ist. Ist es ein echter Wert, behalte ihn und erwähne ihn in deiner Beschreibung: Ausreißer erzählen oft die spannendste Geschichte.

Glossar

Streudiagramm: Ein Diagramm aus Punkten $(x, y)$ , das den Zusammenhang zwischen zwei Zahlenmerkmalen zeigt
Erklärende Variable: Die Variable, die die andere erklären oder beeinflussen kann; sie kommt auf die $x$ -Achse
Zielvariable: Die Variable, die auf die erklärende Variable reagiert; sie kommt auf die $y$ -Achse
Form: Die Gestalt des Musters: linear (Gerade) oder nicht linear (Kurve)
Gruppe (Cluster): Eine Menge von Punkten, die nah beieinander liegen und vom Rest getrennt sind
Ausreißer: Ein Punkt, der weit vom Gesamtmuster der anderen Punkte entfernt liegt

Formelkarte

Ein Punkt pro Person oder Objekt

(x, y) = (\text{erklärend}, \text{Ziel})

Jede Zeile der Tabelle wird zu einem Punkt: Der erste Wert geht nach rechts, der zweite nach oben

Spannweite einer Variable

\text{Spannweite} = \text{größter} - \text{kleinster Wert}

Sagt dir, wie viel Platz auf der Achse die Werte brauchen

Größe eines Schritts

\text{Schritt} \geq \frac{\text{größter Wert} - \text{Start}}{\text{Anzahl der Kästchen}}

Runde auf einen runden Schritt wie 1, 2, 5 oder 10 auf

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Sportwissenschaft: Körpergröße und Armspannweite

Wetter: Höhe und Temperatur

Wirtschaft: Einen Ausreißer finden

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Ein Punkt pro Person oder Objekt

Spannweite einer Variable

Größe eines Schritts

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Einführung in die Regression

Lineare Regression

Ausgleichsgerade

Vorhersagen aus Daten treffen