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Guía del profesor: Error porcentual

Aprende a medir lo lejos que está una medición o una estimación del valor real, expresado como porcentaje del valor real.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Porcentajes. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular el error absoluto entre un valor medido y un valor real
  • Calcular el error porcentual dividiendo el error absoluto entre el valor real y multiplicando por 100
  • Explicar por qué el error porcentual divide entre el valor real y usa el valor absoluto
  • Redondear correctamente un error porcentual e indicar el número de decimales
  • Usar el error porcentual para valorar resultados de laboratorio, estimaciones e instrumentos de medida, incluso con errores mayores que el 100 %
Requisitos previos
  • • Introducción a los porcentajes (pasar de decimal a porcentaje)
  • • Calcular el porcentaje de un número
  • • Aumento y disminución porcentual (variación porcentual)
  • • Valor absoluto de un número
  • • Redondeo de decimales
Iniciadores de discusión
  • 1. Dos alumnos se equivocan en 2 cm cada uno: uno midió un lápiz y el otro una puerta. ¿Quién cometió el error más grande? ¿Por qué?
  • 2. ¿Por qué dividimos entre el valor real y no entre el valor medido?
  • 3. ¿Un error del 3 % es bueno o malo? ¿De qué depende?
  • 4. ¿Puede una estimación equivocarse en más del 100 %? ¿Y si la estimación se queda corta?
  • 5. La variación porcentual conserva el signo menos y el error porcentual no. ¿Por qué las dos fórmulas tratan el signo de forma distinta?
Conceptos erróneos comunes

El error porcentual y el error absoluto son lo mismo

Remediación: Compara un error de 2 cm en un lápiz de 10 cm (20 %) con un error de 2 cm en una puerta de 200 cm (1 %). Mismo error absoluto, error porcentual muy distinto. Muestra el diagrama de barras de los tres objetos.

Da igual dividir entre el valor medido o entre el valor real

Remediación: Usa el ejemplo del concierto: estimación 300, real 120. Dividir entre 120 da 150 %, dividir entre 300 da 60 %. Pregunta qué número describe el error con honestidad: la referencia tiene que ser el valor verdadero.

Un error porcentual nunca puede ser mayor que el 100 %

Remediación: Los alumnos lo confunden con la disminución porcentual, que se detiene en el 100 %. Muestra que una sobreestimación puede ser tan grande como se quiera: decir 50 cuando la respuesta es 20 da 150 %. Solo una subestimación se queda en el 100 % o menos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con valores reales como 10, 100 o 1000 para que la división sea fácil
  • • Usar una lista de tres pasos: restar y quitar el signo, dividir entre el valor real, multiplicar por 100
  • • Dibujar los dos valores en una recta numérica y medir la distancia antes de calcular

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcular errores porcentuales con datos reales de laboratorio con decimales y redondear a dos decimales
  • • Comparar los errores porcentuales de varias estimaciones en un concurso
  • • Explicar con palabras por qué el mismo error absoluto puede dar errores porcentuales distintos

Para estudiantes avanzados:

  • • Cálculo hacia atrás: a partir del valor real y del error porcentual, hallar los dos valores medidos posibles
  • • Investigar por qué una subestimación nunca puede tener un error porcentual mayor que el 100 %
  • • Buscar la tolerancia admitida de un instrumento de medida real y decidir si un resultado la cumple
Alineación con estándares
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Usar relaciones de proporcionalidad para resolver problemas de razones y porcentajes en varios pasos, incluido el error porcentual

  • 7.NS.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.3)

    Resolver problemas reales y matemáticos con las cuatro operaciones con números racionales

  • HSN.Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)

    Elegir un nivel de precisión adecuado a las limitaciones de la medida al expresar cantidades

Recursos de la lección
  • visualEl error en la recta numérica

    Muestra el valor medido, el valor real y la distancia entre ellos (el error absoluto)

  • activityTarro de estimación

    Los alumnos estiman cuántos objetos hay en un tarro y después calculan y ordenan sus errores porcentuales

  • activityPráctica del péndulo

    Los alumnos cronometran un péndulo, calculan g y lo comparan con 9,81 m/s² mediante el error porcentual

  • worksheetEjercicios de error porcentual

    Problemas de laboratorio, estimación y control de calidad, con redondeo y errores mayores que el 100 %

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El error porcentual indica lo lejos que está un valor medido o estimado del valor real, expresado como porcentaje del valor real.
Error porcentual=∣valor medido−valor real∣valor real×100 %\text{Error porcentual} = \frac{|\text{valor medido} - \text{valor real}|}{\text{valor real}} \times 100\,\%
El cálculo tiene tres partes:
  1. 1.Error absoluto: la distancia entre los dos valores, ∣valor medido−valor real∣|\text{valor medido} - \text{valor real}|. Las barras de valor absoluto lo hacen positivo, porque solo importa el tamaño del error.
  2. 2.Dividir entre el valor real: así comparas el error con el tamaño verdadero de lo que has medido.
  3. 3.Multiplicar por 100: así el número decimal se convierte en porcentaje.
Ejemplo: Calculas que en un tarro hay 450 gominolas, pero en realidad hay 500.
∣450−500∣500×100 %=50500×100 %=10 %\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\,\% = \frac{50}{500} \times 100\,\% = 10\,\%
El valor real también se llama valor aceptado, valor verdadero o valor teórico. El valor medido también se llama valor experimental o valor estimado.
En Aumento y disminución porcentual dividías entre el valor original y conservabas el signo (+ para un aumento, −- para una bajada). El error porcentual es parecido, pero siempre divide entre el valor real y nunca es negativo: solo responde a la pregunta "¿cuánto me he equivocado?"

Ejemplos resueltos

En la feria del instituto calculas que un tarro tiene 450 gominolas. En realidad tiene 500. ¿Cuál es tu error porcentual?

1

Calcula el error absoluto

∣450−500∣=∣−50∣=50|450 - 500| = |-50| = 50 → Error absoluto = 50 gominolas

2

Divide entre el valor real

50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1

3

Multiplica por 100

0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%

Errores comunes

Dividir entre el valor medido en lugar del valor real: ∣9,6−9,81∣9,6\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}

Por qué está mal: El error porcentual compara tu error con el tamaño VERDADERO de la magnitud. El valor medido es precisamente el que puede estar mal, así que no puede ser la referencia.

Correcto: Divide siempre entre el valor real (aceptado): ∣9,6−9,81∣9,81×100 %≈2,14 %\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%

Olvidar el valor absoluto y dar un error porcentual negativo, como −10 %-10\,\%

Por qué está mal: El error porcentual mide el tamaño del error, no su dirección. Quedarse corto en 50 es un error tan grande como pasarse en 50.

Correcto: Usa ∣valor medido−valor real∣|\text{valor medido} - \text{valor real}|. Con una estimación de 450 y un valor real de 500: ∣450−500∣=50|450 - 500| = 50, error porcentual 10 %10\,\%.

Olvidar multiplicar por 100 y dar 0,10{,}1 como error porcentual

Por qué está mal: 50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1 es un número decimal, no un porcentaje. Un 0,1 %0{,}1\,\% significaría un error 100 veces menor.

Correcto: Multiplica por 100: 0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%.

Redondear demasiado pronto, o no decir a cuántos decimales se ha redondeado

Por qué está mal: Si redondeas primero 0,219,81\frac{0{,}21}{9{,}81} a 0,020{,}02, obtienes 2 %2\,\% en vez de 2,14 %2{,}14\,\%. Y una respuesta como 2,1 %2{,}1\,\% sin regla de redondeo no se puede comprobar.

Correcto: Conserva todas las cifras hasta el último paso, luego redondea una sola vez y di cómo: "2,14 %2{,}14\,\%, redondeado a dos decimales".

Por qué es importante

Toda medición tiene algo de error, y el error porcentual te dice si ese error es pequeño o grave:
  • Laboratorio de ciencias: Mides la aceleración de la gravedad y obtienes 9,6 m/s29{,}6\ \text{m/s}^2, pero el valor aceptado es 9,81 m/s29{,}81\ \text{m/s}^2. ¿Es bueno tu experimento? El error porcentual dice que se desvía alrededor de un 2 %.
  • Estimación: Los concursos de adivinar cantidades, el tamaño de una multitud y los plazos de un proyecto se pueden juzgar con el error porcentual.
  • Control de calidad: Las fábricas comprueban que básculas, reglas y máquinas no superen un error porcentual fijado, por ejemplo el 1 %.
  • Medicina y cocina: Una dosis pequeña o una pizca de sal necesitan una medición mucho más precisa que una cantidad grande.
El mismo error absoluto puede ser diminuto o enorme: equivocarse en 2 cm al medir una puerta no importa, pero equivocarse en 2 cm al medir un lápiz es un error grande. El error porcentual permite compararlos de forma justa.

Aplicaciones del mundo real

Laboratorio: densidad del aluminio

Los científicos valoran un experimento comparando su resultado con el valor aceptado. Un error porcentual por debajo de un 5 % suele ser un buen resultado en el laboratorio del instituto.

Ejemplo:

Una clase mide la velocidad del sonido y obtiene 330 m/s330\ \text{m/s}. El valor aceptado es 343 m/s343\ \text{m/s}, así que el error porcentual es 13343×100 %≈3,79 %\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%.

1Inténtalo tú mismo

Mides la densidad de un bloque de aluminio y obtienes 2,646 g/cm32{,}646\ \text{g/cm}^3. La densidad aceptada del aluminio es 2,70 g/cm32{,}70\ \text{g/cm}^3.

¿Cuál es el error porcentual de tu medición?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo o el resultado (en %):

Concursos de estimación

Los juegos de adivinar cantidades, los recuentos de público y los plazos son estimaciones. El error porcentual muestra lo buena que fue una estimación, sea cual sea el tamaño de los números.

Ejemplo:

Si calculas 90 caramelos y hay 100, tu error porcentual es 10100×100 %=10 %\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%.

2Inténtalo tú mismo

Un tarro grande de la feria contiene 1250 canicas. Tú calculas 1000 canicas.

¿Cuál es tu error porcentual?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo o el resultado (en %):

Comprobar una báscula de cocina

Tiendas, farmacias y fábricas comprueban sus básculas con pesas patrón cuya masa se conoce con exactitud. El error porcentual les dice si la báscula se puede seguir usando.

Ejemplo:

Una báscula de farmacia marca 101 g con una pesa patrón de 100 g: el error porcentual es 1100×100 %=1 %\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%.

3Inténtalo tú mismo

Pones una pesa patrón de exactamente 500 g en una báscula de cocina. La báscula marca 508 g.

¿Cuál es el error porcentual de la báscula?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el cálculo o el resultado (en %):

Puntos clave

  • 1Error porcentual =∣valor medido−valor real∣valor real×100 %= \frac{|\text{valor medido} - \text{valor real}|}{\text{valor real}} \times 100\,\%
  • 2El error absoluto ∣valor medido−valor real∣|\text{valor medido} - \text{valor real}| es el tamaño del error en las unidades originales; el error porcentual lo compara con el valor real
  • 3Divide siempre entre el valor real (aceptado), nunca entre el valor medido
  • 4El error porcentual nunca es negativo: pasarse o quedarse corto en la misma cantidad da el mismo error porcentual
  • 5Conserva todas las cifras hasta el final, luego redondea una sola vez e indica a cuántos decimales
  • 6El error porcentual puede superar el 100 % cuando una estimación es más del doble del valor real

Preguntas frecuentes

¿Puede ser negativo el error porcentual?

No con la fórmula de esta lección: el valor absoluto lo hace cero o positivo. Algunos profesores de ciencias quitan el valor absoluto para indicar si un resultado salió alto (+) o bajo (−-). Con un error porcentual con signo, el tamaño es el mismo, solo se añade la dirección.

¿Puede el error porcentual ser mayor que el 100 %?

Sí. Si el valor real es 20 y calculas 50, el error absoluto es 30, y 3020×100 %=150 %\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%. Cualquier estimación que sea más del doble del valor real da un error porcentual mayor que el 100 %.

¿Qué es un buen error porcentual?

Depende de la tarea. En el laboratorio del instituto, menos del 5 % suele estar bien y menos del 1 % es excelente. En un juego de estimación, quedarse por debajo del 10 % es estupendo, mientras que una dosis de medicamento o una máquina de precisión pueden necesitar menos del 0,1 %.

¿En qué se diferencia el error porcentual de la variación porcentual?

La variación porcentual compara un valor nuevo con el valor original y conserva el signo: +25 %+25\,\% es un aumento y −15 %-15\,\% una bajada. El error porcentual compara una medición con el valor real y usa el valor absoluto, así que nunca es negativo. En los dos casos se divide entre el valor de referencia y se multiplica por 100.

Glosario

Valor medido
El valor que obtienes de una medición, un experimento o una estimación (también llamado valor experimental o valor estimado)
Valor real
El valor verdadero o aceptado con el que se compara la medición (también llamado valor aceptado, verdadero o teórico)
Error absoluto
La distancia entre el valor medido y el valor real, ∣valor medido−valor real∣|\text{valor medido} - \text{valor real}|, en las unidades originales
Error porcentual
El error absoluto dividido entre el valor real, multiplicado por 100 %
Valor absoluto
La distancia de un número al cero, siempre cero o positiva: ∣−3∣=3|-3| = 3

Tarjeta de fórmulas

Error porcentual

Error porcentual=∣valor medido−valor real∣valor real×100 %\text{Error porcentual} = \frac{|\text{valor medido} - \text{valor real}|}{\text{valor real}} \times 100\,\%

Lo grande que es el error, como porcentaje del valor real

Error absoluto

Error absoluto=∣valor medido−valor real∣\text{Error absoluto} = |\text{valor medido} - \text{valor real}|

El tamaño del error en las unidades originales (cm, g, personas)

Cálculo hacia atrás

valor medido=valor real±valor real×error porcentual100\text{valor medido} = \text{valor real} \pm \text{valor real} \times \frac{\text{error porcentual}}{100}

Usa + si la medición salió alta y $-$ si salió baja

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