Guía del profesor: Tipos de discontinuidad

Aprende a distinguir las discontinuidades evitables (huecos), las de salto y las infinitas, a partir de una gráfica y de una fórmula.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Definir las discontinuidades evitables, de salto e infinitas con límites laterales y con el límite
Reconocer el tipo de discontinuidad en una gráfica (hueco, separación entre tramos, asíntota vertical)
Clasificar las discontinuidades de funciones racionales factorizando y simplificando
Hallar las coordenadas de un hueco y redefinir $f(a)$ para evitarlo
Calcular el tamaño del salto de una función definida a trozos

Requisitos previos

• Continuidad: las tres condiciones para que una función sea continua en un punto
• Límites laterales: límite por la izquierda y por la derecha
• Límites infinitos: límites iguales a $\infty$ o $-\infty$ y asíntotas verticales
• Límites por sustitución directa y factorización para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$
• Factorización de expresiones de segundo grado

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué el valor de $f(a)$ no cambia el tipo de una discontinuidad?
2. Una amiga dice que cada cero del denominador da una asíntota vertical. ¿Cómo la convencerías de lo contrario?
3. ¿Dónde, en la vida diaria, los precios o las cantidades saltan de golpe en lugar de cambiar poco a poco?
4. ¿Puede una función tener un salto y un hueco en el mismo valor de $x$ ? ¿Por qué?

Conceptos erróneos comunes

Cada cero del denominador es una asíntota vertical

Remediación: Dibuja $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ y $\frac{1}{x - 2}$ una al lado de la otra. Pide que factoricen ambas y encuentren la diferencia. Luego enuncia la regla: primero simplificar, después decidir.

Un punto relleno en $x = a$ significa que la función es continua ahí

Remediación: Muestra el ejemplo del salto $h(1) = 6$ : el punto está relleno, pero por la izquierda la gráfica tiende a $3$ . La continuidad exige que el límite exista y sea igual a $f(a)$ , no solo que haya un valor definido.

El tamaño del salto es la diferencia entre $f(a)$ y uno de los lados

Remediación: Define el tamaño del salto solo con los dos límites laterales y pide calcularlo para una función en la que $f(a)$ no esté definida.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con gráficas: rodear los huecos, marcar las separaciones entre tramos y dibujar las asíntotas a trazos
• Usar tablas de valores cerca de $x = a$ : ¿los valores se estabilizan, se separan o se disparan?
• Dar un esquema de decisión: ¿existe el límite? ¿coinciden los lados? ¿los valores se disparan?

Para estudiantes de nivel:

• Clasificar las discontinuidades de funciones racionales factorizando
• Hallar las coordenadas de los huecos y el tamaño de los saltos
• Escribir una función a trozos con un salto dado

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar un parámetro $k$ que convierta un salto en una unión continua
• Investigar discontinuidades oscilantes como la de $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
• Construir una función racional con un hueco en $(1, 2)$ y una asíntota en $x = -3$

Alineación con estándares

HSF-IF.C.7d (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.D)
Representar funciones racionales, identificando ceros y asíntotas cuando hay factorizaciones adecuadas, y mostrar el comportamiento en los extremos
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Representar funciones raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas
HSA-APR.D.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.D.6)
Reescribir expresiones racionales sencillas de distintas formas

Recursos de la lección

visualTres gráficas, tres tipos
Gráficas interactivas de un hueco, un salto y una asíntota con tablas de valores cerca de la ruptura
activityTarjetas para clasificar discontinuidades
El alumnado clasifica 12 gráficas y fórmulas en evitable, de salto e infinita
worksheet¿Hueco o asíntota?
Factorizar funciones racionales y localizar huecos con sus coordenadas y asíntotas verticales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una función

f

es continua en

x = a

cuando

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Si esto falla,

f

tiene una discontinuidad en

x = a

. La forma en que falla indica el tipo:

1. Discontinuidad evitable (hueco) El límite existe y es un número finito

L

, pero

f(a)

no existe o

f(a) \neq L

. La gráfica tiene un único hueco en

(a, L)

. Puedes evitarlo redefiniendo

f(a) = L

2. Discontinuidad de salto Los dos límites laterales son finitos pero distintos:

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

La gráfica salta de una altura a otra. El tamaño del salto es

\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|

. Ningún valor de

f(a)

puede arreglar esta discontinuidad.

3. Discontinuidad infinita (asintótica) Al menos uno de los límites laterales es

\infty

-\infty

. La gráfica tiene una asíntota vertical

x = a

A partir de una fórmula (funciones racionales): factoriza el numerador y el denominador.

Un factor $(x - a)$ que se simplifica por completo produce un hueco en $x = a$ .
Un factor $(x - a)$ que queda en el denominador produce una asíntota vertical en $x = a$ .

Ejemplos resueltos

Clasifica la discontinuidad de $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ en $x = 2$ y evítala.

Comprueba dónde $f$ no está definida

El denominador $x - 2$ vale $0$ en $x = 2$ → $f(2)$ no está definida

Factoriza el numerador

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ → $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Simplifica el factor común

$f(x) = x + 1$ para todo $x \neq 2$ → El factor $(x - 2)$ se simplifica por completo

Calcula el límite

$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ → $= 3$ , un límite finito

Clasifica y arregla

El límite existe y $f(2)$ no: hueco en $(2, 3)$ . Define $f(2) = 3$ . → Discontinuidad evitable

Respuesta: Discontinuidad evitable (hueco) en $(2, 3)$ . Con $f(2) = 3$ , $f$ pasa a ser continua.

Errores comunes

Dibujar una asíntota vertical en cada cero del denominador

Por qué está mal: Un cero del denominador también puede ser un hueco. En $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ el factor $(x - 2)$ se simplifica, así que no hay asíntota en $x = 2$ .

Correcto: Primero factoriza y simplifica. Solo los factores que quedan en el denominador dan asíntotas verticales; los factores simplificados dan huecos.

Llamar evitable a un salto porque existen los dos límites laterales

Por qué está mal: Evitable exige que exista el límite, y eso solo ocurre si los dos lados coinciden. En un salto son números distintos.

Correcto: Límites laterales iguales: evitable (o continua). Límites laterales finitos y distintos: salto.

Usar $f(a)$ como altura del hueco

Por qué está mal: En un hueco, $f(a)$ falta o es incorrecto. El hueco está a la altura del límite.

Correcto: La coordenada $y$ de un hueco se obtiene sustituyendo $x = a$ en la función simplificada: el hueco de $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ está en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ .

Creer que un factor simplificado siempre da un hueco, aunque aparezca dos veces en el denominador

Por qué está mal: En $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ solo se simplifica un factor; queda $\frac{1}{x - 1}$ , que sigue disparándose en $x = 1$ .

Correcto: Simplifica todo lo posible y luego comprueba: si $(x - a)$ sigue en el denominador, es una discontinuidad infinita.

Por qué es importante

Saber el tipo de una discontinuidad te dice lo grave que es la ruptura y qué puedes hacer con ella:

Los huecos son vacíos inofensivos: la función es predecible a su alrededor y basta redefinir un punto para que sea continua. Los programas que fallan con $\frac{0}{0}$ se arreglan muchas veces exactamente así.
Los saltos describen cambios bruscos: tarifas de aparcamiento, tarifas de envío, tramos del IRPF e interruptores que se encienden o se apagan.
Las discontinuidades infinitas avisan de que una magnitud se dispara: la imagen de una lente que se va al infinito, la resonancia de un puente o una fórmula que divide entre casi cero.

En cálculo, el tipo de discontinuidad decide si un límite existe, si una función se puede integrar en un intervalo y cómo hay que dibujar su gráfica. Representar bien las funciones racionales (huecos o asíntotas) es una de las destrezas más evaluadas antes del cálculo.

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento (saltos)

Los aparcamientos cobran por hora empezada, así que el precio es constante dentro de cada hora y salta en cada hora completa.

Ejemplo:

Un aparcamiento cobra 4 dólares hasta 1 hora y 7 dólares por más de 1 hora y hasta 2 horas. En $t = 1$ el precio salta 3 dólares.

1Inténtalo tú mismo

El mismo aparcamiento cobra 7 dólares por más de 1 hora y hasta 2 horas, y 10 dólares por más de 2 horas y hasta 3 horas. $C(t)$ es el precio por $t$ horas.

¿Cuál es el tamaño del salto del precio en $t = 2$ horas (en dólares)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta el límite por la izquierda del límite por la derecha:

Lentes e imágenes en el infinito

En una lente de distancia focal $10$ cm, un objeto a distancia $u$ produce una imagen a distancia $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Cuando el objeto llega al foco, la imagen se va al infinito.

Ejemplo:

Con $u = 15$ cm la imagen está en $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Con $u = 10{,}1$ cm ya está en $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

2Inténtalo tú mismo

La distancia de la imagen es $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$ (en cm).

¿Para qué distancia del objeto $u$ (en cm) tiene $v$ una discontinuidad infinita?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Busca dónde el denominador es cero y el numerador no:

Arreglar una división entre cero en un programa

Los programas calculan a menudo una tasa de variación media $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la fórmula da $\frac{0}{0}$ y el programa falla, aunque los valores cercanos son perfectamente suaves: es una discontinuidad evitable.

Ejemplo:

Para $f(t) = t^2$ y $a = 3$ , la tasa $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ se simplifica a $t + 3$ , así que la programadora guarda el valor $6$ para $t = 3$ .

3Inténtalo tú mismo

Un programa calcula $R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ y falla en $t = 4$ .

¿Qué valor hay que asignar a $R(4)$ para que $R$ sea continua?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica y luego sustituye $t = 4$ :

Puntos clave

1Una discontinuidad en $x = a$ significa que no se cumple $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Evitable (hueco): el límite $L$ existe, pero $f(a)$ falta o es distinto; se arregla con $f(a) = L$
3De salto: límites laterales finitos y distintos; tamaño del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
4Infinita: un límite lateral es $\pm\infty$ ; la gráfica tiene la asíntota vertical $x = a$
5En funciones racionales, factoriza primero: los factores simplificados dan huecos y los que quedan en el denominador dan asíntotas
6La coordenada $y$ de un hueco sale de la función simplificada, nunca de $f(a)$

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama evitable a un hueco?

Porque basta un punto para repararlo. El límite

L

ya existe, así que definir (o redefinir)

f(a) = L

hace que se cumpla

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

y la función pasa a ser continua en

a

¿Se puede evitar alguna vez una discontinuidad de salto?

No. Por la izquierda la función tiende a una altura y por la derecha a otra. Le des a

f(a)

el valor que le des, como mucho coincidirá con un lado, y el límite seguirá sin existir.

¿El valor de la función en $x = a$ cambia el tipo?

No. El tipo depende solo de los límites cerca de

a

. Un salto sigue siendo un salto tanto si

f(a)

es el valor de la izquierda, el de la derecha o no está definido, y un hueco sigue siendo evitable tanto si

f(a)

falta como si es incorrecto.

¿Hay otros tipos de discontinuidad?

Sí, pero son menos frecuentes. Por ejemplo,

\sin\left(\frac{1}{x}\right)

oscila cada vez más rápido cerca de

x = 0

y no tiene ningún límite lateral (discontinuidad oscilante). Los saltos y las discontinuidades infinitas y oscilantes son discontinuidades inevitables (también llamadas esenciales).

Glosario

Discontinuidad: Un punto $x = a$ donde no se cumple $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Discontinuidad evitable (hueco): El límite existe y es finito, pero $f(a)$ no está definida o es distinta; se arregla redefiniendo un punto
Discontinuidad de salto: Los dos límites laterales son finitos pero no son iguales
Tamaño del salto: La distancia entre los dos límites laterales: $\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$
Discontinuidad infinita: Al menos un límite lateral es $\infty$ o $-\infty$ ; la gráfica tiene una asíntota vertical
Asíntota vertical: Una recta vertical $x = a$ a la que se acerca la gráfica mientras sus valores crecen sin límite

Tarjeta de fórmulas

Evitable (hueco)

\lim_{x \to a} f(x) = L

existe,

f(a) \neq L

o no definida

Se arregla con $f(a) = L$

De salto

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

, ambos finitos

Tamaño del salto $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinita

\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asíntota vertical $x = a$

Prueba para funciones racionales

\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un factor simplificado da un hueco en $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ si $q(a) \neq 0$; un factor que queda en el denominador da una asíntota

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento (saltos)

Lentes e imágenes en el infinito

Arreglar una división entre cero en un programa

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Evitable (hueco)

De salto

Infinita

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