Guía del profesor: Diagramas de dispersión

Aprende a construir un diagrama de dispersión a partir de una tabla y a describir el patrón: forma, dirección, fuerza, grupos, huecos y valores atípicos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar la variable explicativa y la variable respuesta en un conjunto de datos
Elegir ejes adecuados y escalas con pasos iguales para un diagrama de dispersión
Construir un diagrama de dispersión a partir de una tabla y leer las coordenadas de los puntos
Describir la forma, la dirección y la fuerza de una asociación
Identificar grupos, huecos y valores atípicos y explicar qué pueden significar

Requisitos previos

• Representar pares ordenados en el plano cartesiano
• Introducción a la correlación (correlación positiva, negativa y nula)
• Introducción a la regresión (para qué sirve una recta de mejor ajuste)
• Leer tablas de datos y encontrar el valor mayor y el menor

Iniciadores de discusión

1. Si representaras tus horas de sueño frente a tu estado de ánimo, ¿qué variable pondrías en el eje $x$ y por qué?
2. ¿Por qué crees que nunca unimos los puntos en un diagrama de dispersión?
3. ¿Puede un patrón ser fuerte y aun así tener un valor atípico? ¿Puedes dibujar uno?
4. ¿Qué podría explicar dos grupos en un diagrama de tiempo de deberes y notas?

Conceptos erróneos comunes

La variable que aparece primero en la tabla siempre va en el eje $x$

Remediación: Muestra una tabla en la que la variable respuesta aparece primero (por ejemplo la nota y luego las horas). Pregunta cuál podría influir en la otra antes de decidir los ejes.

Un diagrama de dispersión tiene que mostrar una recta

Remediación: Representad juntos los datos de distancia de frenado. Deja que el alumnado vea la curva e introduce la palabra no lineal para los patrones que se curvan.

Un valor atípico es un error y hay que borrarlo

Remediación: Comentad el caso del alumno con 60 minutos de deberes y 2 puntos. Reunid motivos reales (enfermedad, un dato mal introducido) y decidid juntos cuándo un punto debe quedarse.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar ejes ya dibujados con las escalas marcadas
• Usar conjuntos pequeños de 4 a 5 puntos con números enteros
• Dar frases de apoyo: 'Cuando ___ aumenta, ___ tiende a ___'

Para estudiantes de nivel:

• Elegir ejes y escalas para datos que no empiezan cerca de 0
• Describir la forma, la dirección y la fuerza de varios diagramas
• Encontrar grupos, huecos y valores atípicos en un conjunto real de datos de la clase

Para estudiantes avanzados:

• Recoger sus propios datos de dos variables y presentar el diagrama de dispersión
• Comparar un patrón lineal y uno no lineal usando los cambios de $y$
• Investigar cómo cambia la descripción al quitar un valor atípico

Alineación con estándares

8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)
Construir e interpretar diagramas de dispersión para datos de medidas bidimensionales e investigar patrones de asociación entre dos magnitudes. Describir patrones como agrupamientos, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y no lineal
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión y describir cómo se relacionan las variables

Recursos de la lección

visualCuadrícula para tocar
El alumnado representa punto a punto los datos de tamaño del hogar y lavadoras y recibe una respuesta para cada punto
activityMedid vuestra clase
Por parejas miden su estatura y su envergadura, y luego la clase construye un diagrama de dispersión común en la pizarra
worksheetDescribe el patrón
Ocho diagramas de dispersión para describir por forma, dirección, fuerza y rasgos especiales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un diagrama de dispersión es un gráfico que muestra la relación entre dos variables numéricas medidas en los mismos individuos. Cada individuo se convierte en un punto

(x, y)

La variable explicativa (la que puede explicar o influir en la otra) va en el **eje horizontal $x$ **.
La variable respuesta (la que responde) va en el **eje vertical $y$ **.

Para construir un diagrama de dispersión a partir de una tabla:

1.Decide qué variable es $x$ y cuál es $y$ .
2.Elige para cada eje una escala con pasos iguales que cubra todos los valores.
3.Rotula los dos ejes con el nombre de la variable y la unidad.
4.Dibuja un punto por cada fila de la tabla. No unas los puntos.

Para describir un diagrama de dispersión, fíjate en:

Forma: ¿los puntos siguen una recta (lineal) o una curva (no lineal)?
Dirección: ¿suben de izquierda a derecha (positiva) o bajan (negativa)?
Fuerza: ¿los puntos están cerca del patrón (fuerte), algo dispersos a su alrededor (moderada) o muy separados (débil)?
Rasgos especiales: grupos (puntos agrupados), huecos (zonas vacías) y valores atípicos (puntos lejos del patrón).

Ejemplos resueltos

Un entrenador de baloncesto anota cuántas horas entrenan a la semana siete jugadores y cuántos tiros libres (de 20) anota cada uno:

Jugador	A	B	C	D	E	F	G
Horas	1	2	3	4	5	6	7
Tiros libres	6	8	9	11	12	14	15

¿Qué variable va en cada eje y qué escalas debes usar?

Encuentra la variable explicativa

El entrenamiento puede influir en el número de tiros libres, no al revés →

x

= horas de entrenamiento,

y

= tiros libres anotados

Halla el rango de cada variable

Horas: de

1

7

. Tiros libres: de

6

15

→

x

debe llegar al menos a

7

y

al menos a

15

Elige pasos iguales

Eje

x

: de

0

8

1

1

. Eje

y

: de

0

20

2

2

(nadie puede anotar más de 20 tiros libres, y

20 \div 2 = 10

pasos iguales) → Los dos ejes tienen separaciones iguales

Rotula los ejes

x

: entrenamiento por semana (horas).

y

: tiros libres anotados (de 20) → Los ejes están listos para representar

Respuesta: Pon las **horas de entrenamiento en el eje $x$ (de 0 a 8, de 1 en 1) y los tiros libres en el eje $y$ ** (de 0 a 20, de 2 en 2), con un rótulo y una unidad en cada eje.

Errores comunes

Poner la variable respuesta en el eje $x$

Por qué está mal: Los ejes tienen funciones distintas. Si pones los tiros libres en el eje $x$ y el entrenamiento en el eje $y$ , el gráfico sugiere que los tiros libres explican el tiempo de entrenamiento.

Correcto: Pregúntate: ¿qué variable podría influir en la otra? Esa es la variable explicativa y va en el eje $x$ .

Usar pasos desiguales en un eje (por ejemplo 0, 5, 10, 20, 50)

Por qué está mal: Las separaciones desiguales juntan unos puntos y separan otros, así que el patrón que ves es falso.

Correcto: Usa el mismo paso a lo largo de cada eje, por ejemplo 0, 10, 20, 30, 40, 50. Los dos ejes pueden tener pasos distintos.

Unir los puntos con líneas como en un gráfico de líneas

Por qué está mal: Las filas de la tabla son individuos distintos, no momentos en el tiempo. Unirlos inventa un camino que no existe.

Correcto: Deja los puntos separados. Describe el patrón general con palabras (en la próxima lección trazarás una sola recta de mejor ajuste).

Pensar que un patrón empinado es un patrón fuerte

Por qué está mal: La inclinación dice lo rápido que cambia $y$ . La fuerza dice lo cerca que siguen los puntos el patrón. Un patrón con poca pendiente puede ser muy fuerte y uno empinado puede ser débil.

Correcto: Juzga la fuerza por lo pegados que están los puntos a la recta o a la curva, no por lo empinada que sea.

Por qué es importante

El diagrama de dispersión es lo primero que dibuja un científico, un entrenador o un analista cuando dos medidas podrían estar relacionadas:

Deporte: un entrenador representa las horas de entrenamiento frente a los puntos anotados para ver si entrenar compensa
Salud: los médicos representan la edad frente a la tensión arterial para ver cómo cambia a lo largo de la vida
Meteorología: los meteorólogos representan la altitud frente a la temperatura (baja unos $6°C$ por cada kilómetro de subida)
Comercio: una tienda representa la temperatura frente a la venta de helados para planificar sus pedidos
Ciencia: los físicos representan la velocidad frente a la distancia de frenado y descubren que es una curva, no una recta

Un diagrama de dispersión muestra toda la imagen de una vez: el patrón general, los puntos que se salen de él y los grupos escondidos en los datos. Es el punto de partida de la correlación y de la recta de mejor ajuste de las próximas lecciones.

Aplicaciones del mundo real

Ciencias del deporte: estatura y envergadura

Los entrenadores de natación y baloncesto representan la estatura frente a la envergadura, porque una envergadura grande es una ventaja en los dos deportes.

Ejemplo:

En la mayoría de las personas la envergadura es casi igual a la estatura, así que los puntos quedan cerca de una recta que sube: un patrón fuerte, positivo y lineal.

1Inténtalo tú mismo

Quieres representar las envergaduras de un equipo. Van de $148$ cm a $182$ cm. Tu eje $y$ empieza en $140$ cm y tiene $10$ cuadros.

¿Qué paso debe representar cada cuadro (elige entre los pasos redondos 1, 2, 5 o 10)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el paso de un cuadro:

Meteorología: altitud y temperatura

Los guías de montaña y los pilotos saben que el aire se enfría cuanto más se sube. Un diagrama de dispersión de altitud y temperatura muestra a qué ritmo.

Ejemplo:

Los globos sonda miden la temperatura cada pocos cientos de metros mientras suben. Representadas juntas, las medidas quedan casi sobre una recta que baja.

2Inténtalo tú mismo

Una excursionista anota la temperatura a cuatro altitudes: $(0, 20)$ , $(1, 14)$ , $(2, 7)$ , $(3, 1)$ , con la altitud en km y la temperatura en °C.

¿Cómo describirías el diagrama de dispersión?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige la mejor descripción:

Comercio: encontrar un valor atípico

Las tiendas representan el número de publicaciones en redes sociales por semana frente al número de clientes nuevos para ver si la publicidad funciona y detectar las semanas que no encajan.

Ejemplo:

Una semana con muchas publicaciones pero muy pocos clientes destaca como valor atípico. Suele haber un motivo: un festivo, un fallo de la web o el mal tiempo.

3Inténtalo tú mismo

Una panadería anota cinco semanas como (publicaciones, clientes nuevos): $(2, 30)$ , $(4, 42)$ , $(6, 54)$ , $(8, 66)$ , $(10, 20)$ .

¿Cuántas publicaciones hubo en la semana que es un valor atípico?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el valor de $x$ del valor atípico:

Puntos clave

1Un diagrama de dispersión muestra dos variables numéricas: cada individuo es un punto $(x, y)$
2La variable explicativa va en el eje $x$ y la variable respuesta en el eje $y$
3Cada eje necesita pasos iguales, un rótulo y una unidad; los dos ejes pueden tener escalas distintas
4Dibuja un punto por fila y nunca unas los puntos
5Describe el patrón por su forma (lineal o no lineal), su dirección (positiva o negativa) y su fuerza (fuerte, moderada, débil)
6Busca rasgos especiales: grupos, huecos y valores atípicos

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre un diagrama de dispersión y un gráfico de líneas?

Un gráfico de líneas sigue una magnitud a lo largo del tiempo, así que tiene sentido unir los puntos. Un diagrama de dispersión compara dos variables en muchos individuos distintos, así que los puntos quedan sin unir.

¿Tienen que empezar los dos ejes en 0?

No. Si todas las estaturas están entre 148 y 182 cm, empezar el eje en 140 aprovecha mejor el espacio. Solo mantén los pasos iguales y deja claro el valor inicial en el eje.

¿Y si ninguna variable explica la otra?

A veces, como con la estatura y la envergadura, ninguna causa la otra. Entonces puedes elegir cualquiera de las dos para el eje

x

. Escoge la que usarías con más probabilidad para estimar la otra.

¿Debo borrar un valor atípico?

No de forma automática. Primero comprueba si es un error en los datos. Si es un valor real, consérvalo y menciónalo en tu descripción: los valores atípicos suelen contar la historia más interesante.

Glosario

Diagrama de dispersión: Un gráfico de puntos $(x, y)$ que muestra la relación entre dos variables numéricas
Variable explicativa: La variable que puede explicar o influir en la otra; va en el eje $x$
Variable respuesta: La variable que responde a la variable explicativa; va en el eje $y$
Forma: La figura del patrón: lineal (recta) o no lineal (curva)
Grupo (cúmulo): Un conjunto de puntos cercanos entre sí y separados del resto
Valor atípico: Un punto que está lejos del patrón general de los demás puntos

Tarjeta de fórmulas

Un punto por individuo

(x, y) = (\text{explicativa}, \text{respuesta})

Cada fila de la tabla se convierte en un punto: el primer valor va hacia la derecha y el segundo hacia arriba

Rango de una variable

\text{rango} = \text{mayor} - \text{menor valor}

Te dice cuánto espacio del eje necesitan los valores

Tamaño de un paso

\text{paso} \geq \frac{\text{mayor valor} - \text{inicio}}{\text{número de cuadros}}

Redondea hacia arriba a un paso redondo como 1, 2, 5 o 10

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Ciencias del deporte: estatura y envergadura

Meteorología: altitud y temperatura

Comercio: encontrar un valor atípico

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Un punto por individuo

Rango de una variable

Tamaño de un paso

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Hacer predicciones a partir de datos