Le Discriminant

Apprends comment le discriminant révèle la nature des solutions d'une équation du second degré.

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Définition

Le discriminant est l'expression sous la racine carrée dans la formule quadratique. Pour une équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, le discriminant est :
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Le discriminant nous indique la nature et le nombre de solutions sans résoudre l'équation :
DiscriminantNombre de SolutionsType de Solutions
Δ>0\Delta > 0Deux solutionsDeux nombres réels distincts
Δ=0\Delta = 0Une solutionUn nombre réel double
Δ<0\Delta < 0Pas de solutions réellesDeux nombres complexes
Rappelons la formule quadratique : x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Le discriminant est la partie sous la racine carrée !

Essaie tout de suite

Quelle est la formule du discriminant pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ?

Exemples résolus

Détermine la nature des solutions pour x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
1

Identifie a, b et c

a=1a = 1, b=−5b = -5, c=6c = 6 → Coefficients identifiés
2

Calcule le discriminant

Δ=(−5)2−4(1)(6)=25−24\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 → Δ=1\Delta = 1
3

Interprète le résultat

Puisque Δ=1>0\Delta = 1 > 0, il y a deux solutions réelles distinctes → Deux solutions réelles
4

Vérifie en résolvant

x=5±12=5±12x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}, donc x=3x = 3 ou x=2x = 2 → x=2x = 2 et x=3x = 3 confirmés

Erreurs courantes

Oublier le signe négatif lorsque bb est négatif

Pourquoi c'est faux: Quand b=−5b = -5, les élèves calculent b2=−25b^2 = -25 au lieu de (−5)2=25(-5)^2 = 25

Correct: Élève toujours au carré le coefficient entier y compris son signe : (−5)2=25(-5)^2 = 25

Confondre b2−4acb^2 - 4ac avec b−4acb - 4ac

Pourquoi c'est faux: Les élèves oublient parfois d'élever bb au carré, ce qui change drastiquement le résultat

Correct: Le discriminant est b2−4acb^2 - 4ac. Le bb DOIT être élevé au carré.

Penser que Δ=0\Delta = 0 signifie aucune solution

Pourquoi c'est faux: Zéro semble signifier rien, donc les élèves supposent qu'il n'y a pas de solutions

Correct: Δ=0\Delta = 0 signifie exactement UNE solution (une racine double), pas zéro solutions

Mal identifier les coefficients quand l'équation n'est pas sous forme standard

Pourquoi c'est faux: Les élèves utilisent de mauvaises valeurs pour aa, bb, cc si l'équation est comme 3x+x2=53x + x^2 = 5

Correct: Réécris toujours d'abord sous forme standard ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 : x2+3x−5=0x^2 + 3x - 5 = 0

Visuel interactif

Explorateur quadratique

y = x² - 6x + 9

Contrôle la largeur et la direction

Déplace la parabole

Ordonnée à l'origine

xy

Sommet

(3, 0)

Axe de symétrie

x = 3

Racines (abscisses à l'origine)

x = 3 (racine double)

Ordonnée à l'origine

(0, 9)

Direction

Ouvre vers le haut

Discriminant

b² - 4ac = 0

Table de valeurs

x-3-2-10123
y3625169410
SommetRacinesOrdonnée à l'origineAxe de symétrie

Courbe de la fonction

-2-10123456-202468xy(2 ; 0)(3 ; 0)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

x² - 5x + 6 (Δ > 0)x² - 6x + 9 (Δ = 0)2x² + x + 1 (Δ < 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (2 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3 ; 0)
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (3 ; 0)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x^2 - 6x + 9

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quelle est la formule du discriminant pour ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ?

Pourquoi c'est important

Le discriminant est un outil puissant qui fait gagner du temps et offre des perspectives :
  • Efficacité : Avant de résoudre, vérifie si des solutions réelles existent
  • Graphiques : Sache si une parabole coupe l'axe des x (et combien de fois) sans tracer
  • Résolution de problèmes : Dans les problèmes concrets, vérifie que ta configuration donne des réponses valides
  • Ingénierie : Détermine si une trajectoire, un circuit ou une conception a des solutions réalisables
Considère le discriminant comme un test diagnostic rapide qui révèle le comportement des équations du second degré !

Applications dans le monde réel

Mouvement de Projectile

Lors du lancement d'un projectile, le discriminant indique s'il atteindra une certaine hauteur.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut suit h=−5t2+20t+1h = -5t^2 + 20t + 1. Pour trouver quand h=25h = 25 : −5t2+20t−24=0-5t^2 + 20t - 24 = 0. Le discriminant Δ=400−480=−80<0\Delta = 400 - 480 = -80 < 0 nous dit que la balle n'atteint jamais 25 mètres.

1Essaie par toi-même

La hauteur d'une fusée est modélisée par h=−4t2+32th = -4t^2 + 32t. Tu veux savoir si elle atteint 64 mètres.

La fusée atteint-elle 64 mètres ? Utilise le discriminant pour décider.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pose −4t2+32t=64-4t^2 + 32t = 64, puis calcule Δ\Delta :

Analyse du Seuil de Rentabilité

Les entreprises utilisent le discriminant pour déterminer si les objectifs de profit sont atteignables.

Exemple:

Si le profit P=−2x2+40x−100P = -2x^2 + 40x - 100, trouver quand P=150P = 150 donne −2x2+40x−250=0-2x^2 + 40x - 250 = 0. Avec Δ=1600−2000=−400<0\Delta = 1600 - 2000 = -400 < 0, un profit de 150 est impossible.

2Essaie par toi-même

Le profit journalier d'une entreprise est P=−x2+12x−20P = -x^2 + 12x - 20 milliers d'euros, où xx est le nombre d'articles vendus (en centaines).

Peuvent-ils atteindre un profit de 16 milliers d'euros ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pose P=16P = 16 : −x2+12x−36=0-x^2 + 12x - 36 = 0. Trouve Δ\Delta :

Points clés

  • 1Le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac pour l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 2Si Δ>0\Delta > 0 : deux solutions réelles distinctes
  • 3Si Δ=0\Delta = 0 : une solution réelle double
  • 4Si Δ<0\Delta < 0 : pas de solutions réelles (deux solutions complexes)
  • 5Le discriminant apparaît sous la racine carrée dans la formule quadratique
  • 6Utilise le discriminant pour prédire les solutions sans résoudre entièrement l'équation

Questions fréquentes

Le mot discriminant vient de discriminer, signifiant distinguer ou différencier. Le discriminant discrimine entre les différents types de solutions : deux réelles, une réelle, ou pas de solutions réelles.
Le mot discriminant vient de discriminer, signifiant distinguer ou différencier. Le discriminant discrimine entre les différents types de solutions : deux réelles, une réelle, ou pas de solutions réelles.
Les solutions deviennent des nombres complexes impliquant i=−1i = \sqrt{-1}. Par exemple, si Δ=−4\Delta = -4, alors Δ=−4=2i\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2i. Les solutions complexes sont étudiées en mathématiques avancées.
Absolument ! Le discriminant indique combien d'intersections avec l'axe des x la parabole a : Δ>0\Delta > 0 signifie 2 intersections, Δ=0\Delta = 0 signifie 1 intersection (le sommet touche l'axe des x), Δ<0\Delta < 0 signifie aucune intersection.

Glossaire

Discriminant
L'expression b2−4acb^2 - 4ac qui détermine la nature des solutions d'une équation du second degré
Racine double
Une solution répétée qui se produit lorsque le discriminant est égal à zéro
Solution réelle
Une solution qui est un nombre réel (n'impliquant pas ii)
Solution complexe
Une solution impliquant des nombres imaginaires, se produisant lorsque Δ<0\Delta < 0

Carte des formules

Discriminant

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

L'expression qui détermine la nature des solutions

Formule Quadratique

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Formule pour résoudre toute équation du second degré

Deux Solutions

Δ>0\Delta > 0

Condition pour deux solutions réelles distinctes

Une Solution

Δ=0\Delta = 0

Condition pour une solution réelle double

Pas de Solutions Réelles

Δ<0\Delta < 0

Condition pour pas de solutions réelles

Défi du jourUn problème, trois essais

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