Problèmes de mots quadratiques

Apprends à traduire des situations réelles en équations quadratiques et à les résoudre pour trouver des réponses significatives.

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Définition

Un problème de mots quadratique est une situation réelle qui peut être modélisée par une équation quadratique de la forme :
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Les types courants incluent :
  • Mouvement projectile : Objets lancés ou projetés en l'air
  • Problèmes d'aire : Trouver les dimensions de rectangles, jardins ou cadres
  • Problèmes de nombres : Trouver deux nombres avec des relations spécifiques
  • Optimisation : Trouver des valeurs maximales ou minimales
Pour résoudre les problèmes de mots quadratiques :
  1. 1.Lis le problème attentivement et identifie ce que tu dois trouver
  2. 2.Définis une variable pour la quantité inconnue
  3. 3.Écris une équation quadratique basée sur les relations décrites
  4. 4.Résous par factorisation, complétion du carré ou formule quadratique
  5. 5.Vérifie que ta réponse a du sens dans le contexte réel

Essaie tout de suite

Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur hh en mètres après tt secondes est h=−5t2+20th = -5t^2 + 20t. Quand la balle touche-t-elle le sol ?

Exemples résolus

Une balle est lancée vers le haut depuis le niveau du sol avec une vitesse initiale de 15 mètres par seconde. Sa hauteur hh (en mètres) après tt secondes est donnée par h=−5t2+15th = -5t^2 + 15t. Quand la balle touchera-t-elle le sol ?
1

Comprendre ce que nous devons trouver

La balle touche le sol quand sa hauteur h=0h = 0 → Poser h=0h = 0
2

Écrire l'équation

0=−5t2+15t0 = -5t^2 + 15t → −5t2+15t=0-5t^2 + 15t = 0
3

Factoriser le PGCD

−5t(t−3)=0-5t(t - 3) = 0 → Forme factorisée
4

Appliquer la propriété du produit nul

−5t=0-5t = 0 ou t−3=0t - 3 = 0 → t=0t = 0 ou t=3t = 3
5

Interpréter les solutions

t=0t = 0 est quand la balle est lancée ; t=3t = 3 est quand elle atterrit → La balle atterrit à t=3t = 3 secondes

Erreurs courantes

Oublier de vérifier si les solutions ont du sens dans le contexte

Pourquoi c'est faux: Les solutions mathématiques comme les longueurs négatives ou les temps avant le lancement sont invalides dans les problèmes réels.

Correct: Interprète toujours tes réponses : les largeurs doivent être positives, le temps doit être non négatif, et les quantités doivent être raisonnables.

Configurer l'équation incorrectement

Pourquoi c'est faux: Mal lire la relation entre les quantités (par ex., confondre 'de plus que' avec 'fois').

Correct: Lis attentivement : '4 de plus que la largeur' signifie l+4l + 4, tandis que '4 fois la largeur' signifie 4l4l.

Utiliser une seule solution quand les deux sont valides

Pourquoi c'est faux: Certains problèmes ont deux solutions significatives qui répondent toutes deux à la question.

Correct: Vérifie les deux solutions par rapport au problème original. Par exemple, une balle atteint 20 pieds en montant ET en descendant.

Confondre la formule du sommet avec la formule quadratique

Pourquoi c'est faux: La formule du sommet x=−b2ax = -\frac{b}{2a} trouve l'axe de symétrie, pas les racines.

Correct: Utilise la formule du sommet pour les problèmes de maximum/minimum ; utilise la formule quadratique pour trouver où la parabole coupe l'axe des x.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

012345670102030405060th(6,32 ; 0)(3 ; 55)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

h = -5t² + 30t + 10
  • Zéro (abscisse à l'origine) : (6,32 ; 0)
  • Sommet : (3 ; 55)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

012345670102030405060xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = -16x^2 + 48x

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur hh en mètres après tt secondes est h=−5t2+20th = -5t^2 + 20t. Quand la balle touche-t-elle le sol ?

Pourquoi c'est important

Les équations quadratiques apparaissent partout dans le monde réel :
  • Sports : La trajectoire d'un ballon de basket, de football ou de golf suit une parabole
  • Architecture : Les arches dans les ponts et bâtiments sont des formes paraboliques
  • Affaires : Les modèles de profit et de revenus impliquent souvent des relations quadratiques
  • Ingénierie : Conception de réflecteurs, antennes et ponts suspendus
  • Physique : Calcul de trajectoires, accélération et énergie
Maîtriser les problèmes de mots quadratiques t'aide à appliquer la pensée mathématique pour résoudre des défis pratiques en science, ingénierie et vie quotidienne.

Applications dans le monde réel

Sports et mouvement projectile

Les athlètes et entraîneurs utilisent les équations quadratiques pour analyser la trajectoire des balles, sauts et lancers.

Exemple:

Un joueur de basketball tire depuis la ligne des trois points. La hauteur de la balle suit h=−0,05x2+1,2x+6h = -0,05x^2 + 1,2x + 6, où xx est la distance horizontale. La balle passe-t-elle au-dessus du panier de 3 mètres à x=6x = 6 mètres ?

1Essaie par toi-même

Un ballon de football est frappé avec une hauteur h=−4,9t2+14,7th = -4,9t^2 + 14,7t mètres après tt secondes.

Combien de temps le ballon est-il en l'air ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Égaler la hauteur à zéro et résoudre :

Architecture et design

Les architectes utilisent les équations quadratiques pour concevoir des arches, des dômes et optimiser l'espace.

Exemple:

Une arche parabolique a l'équation y=−0,1x2+2xy = -0,1x^2 + 2x où xx et yy sont en mètres. L'arche s'étend de x=0x = 0 à x=20x = 20, et sa hauteur maximale est au sommet : y=10y = 10 mètres.

2Essaie par toi-même

Un architecte conçoit une cour rectangulaire avec un périmètre fixe de 40 mètres.

Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si largeur = ll, alors longueur = 20−l20 - l. Aire = l(20−l)l(20 - l)

Affaires et économie

Les entreprises utilisent des modèles quadratiques pour maximiser le profit et les revenus.

Exemple:

Une entreprise trouve que son profit (en milliers d'euros) de la vente de xx centaines d'articles est P=−2x2+24x−54P = -2x^2 + 24x - 54. Le profit maximum se produit quand x=6x = 6 centaines d'articles.

3Essaie par toi-même

Un théâtre vend des billets à 20 euros. Pour chaque augmentation de 2 euros, ils vendent 10 billets de moins. Actuellement, ils vendent 300 billets.

Quel prix maximise les revenus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soit nn = nombre d'augmentations de 2 euros. Revenus = (prix)(billets)

Points clés

  • 1Les problèmes de mots quadratiques modélisent des situations réelles avec des équations de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • 2Les types de problèmes courants incluent le mouvement projectile, l'aire, les entiers consécutifs et l'optimisation
  • 3Définis toujours ta variable clairement et écris une équation basée sur les relations du problème
  • 4Résous par factorisation, complétion du carré ou formule quadratique
  • 5Vérifie que tes solutions ont du sens dans le contexte réel (pas de longueurs négatives ou de temps impossibles)
  • 6Pour les problèmes de maximum/minimum, trouve le sommet en utilisant x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Questions fréquentes

Cherche des indicateurs clés : aire de rectangles (longueur fois largeur), produits de quantités liées, mouvement projectile (objets lancés ou lâchés), ou optimisation (trouver des valeurs maximales ou minimales). Si le problème implique de multiplier une variable par elle-même, c'est probablement quadratique.
Cherche des indicateurs clés : aire de rectangles (longueur fois largeur), produits de quantités liées, mouvement projectile (objets lancés ou lâchés), ou optimisation (trouver des valeurs maximales ou minimales). Si le problème implique de multiplier une variable par elle-même, c'est probablement quadratique.
Les deux pourraient être valides ! Par exemple, une balle atteint une certaine hauteur deux fois : une fois en montant et une fois en descendant. Lis attentivement le problème pour déterminer si tu as besoin d'une ou des deux solutions.
Essaie d'abord de factoriser si les nombres sont simples. Utilise la formule quadratique quand : l'équation ne se factorise pas facilement, tu as des décimales ou des fractions, ou tu veux être certain de trouver toutes les solutions.

Glossaire

Équation quadratique
Une équation de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 où a≠0a \neq 0
Mouvement projectile
La trajectoire courbe d'un objet lancé ou projeté, modélisée par une équation quadratique
Sommet
Le point le plus haut ou le plus bas d'une parabole, trouvé à x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
Entiers consécutifs
Des entiers qui se suivent dans l'ordre (par ex., 5, 6, 7)
Optimisation
Trouver la valeur maximale ou minimale d'une quantité

Carte des formules

Formule quadratique

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Résout toute équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$

Formule du sommet

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Trouve la coordonnée x du sommet (point maximum ou minimum)

Hauteur projectile

h=−12gt2+v0t+h0h = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0

Hauteur au temps $t$ avec vitesse initiale $v_0$ et hauteur initiale $h_0$

Défi du jourUn problème, trois essais

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