Valeur absolue

Apprends ce que signifie la valeur absolue et comment trouver la distance par rapport à zéro.

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Définition

La valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique. On écrit la valeur absolue avec des barres verticales : ∣n∣|n|.
Comme la distance est toujours positive (ou nulle), la valeur absolue est toujours non négative :
∣5∣=5et∣−5∣=5|5| = 5 \quad \text{et} \quad |-5| = 5
Tant 55 que −5-5 sont exactement à 5 unités de zéro, donc ils ont la même valeur absolue.
Point clé : La valeur absolue nous dit "à quelle distance" sans se soucier de la direction (gauche ou droite).

Essaie tout de suite

Que vaut ∣−6∣|-6| ?

Exemples résolus

Trouve : ∣8∣|8| et ∣−8∣|-8|
1

Pour ∣8∣|8| : À quelle distance est 8 de zéro ?

Compte de 0 à 8 sur la droite numérique → ∣8∣=8|8| = 8
2

Pour ∣−8∣|-8| : À quelle distance est −8-8 de zéro ?

Compte de −8-8 à 0 sur la droite numérique → ∣−8∣=8|-8| = 8
3

Compare les résultats

Tant 8 que −8-8 sont à 8 unités de zéro → ∣8∣=∣−8∣=8|8| = |-8| = 8

Erreurs courantes

Penser que ∣−5∣=−5|-5| = -5

Pourquoi c'est faux: Les élèves peuvent ne pas appliquer le concept de "distance" et simplement garder le signe négatif.

Correct: La valeur absolue est toujours non négative. ∣−5∣=5|-5| = 5 parce que −5-5 est à 5 unités de zéro.

Confondre −∣5∣-|5| avec ∣−5∣|-5|

Pourquoi c'est faux: Ces expressions se ressemblent mais signifient des choses différentes !

Correct: ∣−5∣=5|-5| = 5 (trouve la valeur absolue de −5-5), mais −∣5∣=−5-|5| = -5 (prends le négatif de ∣5∣|5|).

Penser que la valeur absolue change le nombre à l'intérieur

Pourquoi c'est faux: Les élèves pourraient penser que ∣−3∣|-3| signifie "enlever le négatif" pour toute expression.

Correct: La valeur absolue donne la distance par rapport à zéro. Elle ne change pas le nombre ; elle mesure à quelle distance il est de zéro.

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à

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Que vaut ∣−6∣|-6| ?

Pourquoi c'est important

La valeur absolue apparaît partout quand on s'intéresse à la magnitude plutôt qu'à la direction :
  • Erreur de mesure : Si une mesure est décalée de −3-3 ou +3+3, la taille de l'erreur est la même : ∣−3∣=∣3∣=3|{-3}| = |3| = 3
  • Distance : La distance entre deux villes est toujours positive, quelle que soit la direction du voyage
  • Différence de température : Qu'il fasse 55 degrés plus chaud ou plus froid, le changement reste de 55 degrés
  • Sport : Au golf, un score de −2-2 (sous le par) et +2+2 (au-dessus du par) sont tous deux "à 2 du par"
La valeur absolue supprime le signe et ne nous donne que la taille !

Applications dans le monde réel

Erreur de mesure

Les scientifiques et les ingénieurs utilisent la valeur absolue pour mesurer la précision de leurs mesures.

Exemple:

Si la température réelle est de 20 degrés Celsius et ton thermomètre indique 18 degrés Celsius, l'erreur est ∣18−20∣=∣−2∣=2|18 - 20| = |-2| = 2 degrés.

1Essaie par toi-même

Une recette demande exactement 250 grammes de farine. Tu mesures 243 grammes.

Quelle est l'erreur absolue de ta mesure ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule ∣243−250∣|243 - 250|

Changements de température

Quand on compare des changements de température, on s'intéresse souvent à l'ampleur du changement, pas à la direction.

Exemple:

Si la température a chuté de 15 degrés Celsius à 8 degrés Celsius, le changement est ∣8−15∣=∣−7∣=7|8 - 15| = |-7| = 7 degrés.

2Essaie par toi-même

La température maximale de lundi était de 22 degrés Celsius. Celle de mardi était de 17 degrés Celsius.

Quelle était la différence de température ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule ∣17−22∣|17 - 22|

Points clés

  • 1La valeur absolue ∣n∣|n| représente la distance par rapport à zéro sur la droite numérique
  • 2La valeur absolue est toujours non négative : ∣n∣≥0|n| \geq 0
  • 3Les opposés ont la même valeur absolue : ∣n∣=∣−n∣|n| = |-n|
  • 4Pour tout nombre nn : si n≥0n \geq 0, alors ∣n∣=n|n| = n ; si n<0n < 0, alors ∣n∣=−n|n| = -n
  • 5Distance entre deux nombres : ∣a−b∣|a - b| ou ∣b−a∣|b - a|

Questions fréquentes

La valeur absolue représente une distance, et une distance ne peut pas être négative. Tu ne peux pas marcher un nombre négatif de pas ! Que tu ailles à gauche ou à droite, tu parcours toujours une distance positive.
La valeur absolue représente une distance, et une distance ne peut pas être négative. Tu ne peux pas marcher un nombre négatif de pas ! Que tu ailles à gauche ou à droite, tu parcours toujours une distance positive.
∣0∣=0|0| = 0. Zéro est à zéro unité de lui-même. C'est le seul nombre dont la valeur absolue est égale à zéro.
Non ! ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| (même distance de zéro), mais −∣x∣-|x| est le négatif de la valeur absolue. Par exemple : ∣−5∣=5|-5| = 5, mais −∣5∣=−5-|5| = -5.

Glossaire

Valeur absolue
La distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique, écrite ∣n∣|n|
Distance
La quantité d'espace entre deux points, toujours non négative
Non négatif
Un nombre supérieur ou égal à zéro
Magnitude
La taille ou la quantité de quelque chose, sans tenir compte de la direction ou du signe
Opposés
Deux nombres avec la même valeur absolue mais des signes différents, comme 55 et −5-5

Carte des formules

Définition

∣n∣=n|n| = n si n≥0n \geq 0 ; ∣n∣=−n|n| = -n si n<0n < 0

La valeur absolue est le nombre lui-même si positif, ou son opposé si négatif

Opposés

∣n∣=∣−n∣|n| = |-n|

Un nombre et son opposé ont la même valeur absolue

Distance

d=∣a−b∣d = |a - b|

Distance entre deux nombres sur la droite numérique

Non-négativité

∣n∣≥0|n| \geq 0

La valeur absolue est toujours zéro ou positive

Défi du jourUn problème, trois essais

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