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Guide de l'enseignant: Erreur relative en pourcentage

Apprends à mesurer l'écart entre une mesure ou une estimation et la valeur réelle, exprimé en pourcentage de la valeur réelle.

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Quiz de classe

10 questions sur Pourcentages. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Calculer l'erreur absolue entre une valeur mesurée et une valeur réelle
  • Calculer l'erreur relative en pourcentage en divisant l'erreur absolue par la valeur réelle puis en multipliant par 100
  • Expliquer pourquoi l'erreur relative divise par la valeur réelle et utilise la valeur absolue
  • Arrondir correctement une erreur relative et indiquer le nombre de décimales
  • Utiliser l'erreur relative pour juger des résultats de TP, des estimations et des instruments de mesure, y compris des erreurs supérieures à 100 %
Prérequis
  • • Introduction aux pourcentages (passer d'un nombre décimal à un pourcentage)
  • • Calculer le pourcentage d'un nombre
  • • Augmentation et diminution en pourcentage (variation en pourcentage)
  • • Valeur absolue d'un nombre
  • • Arrondir des nombres décimaux
Amorces de discussion
  • 1. Deux élèves se trompent chacun de 2 cm : l'un a mesuré un crayon, l'autre une porte. Qui a fait la plus grosse erreur ? Pourquoi ?
  • 2. Pourquoi divise-t-on par la valeur réelle et pas par la valeur mesurée ?
  • 3. Une erreur de 3 %, est-ce bien ou mal ? De quoi cela dépend-il ?
  • 4. Une estimation peut-elle se tromper de plus de 100 % ? Et si l'estimation est trop basse ?
  • 5. La variation en pourcentage garde le signe moins, l'erreur relative non. Pourquoi les deux formules traitent-elles le signe différemment ?
Idées reçues courantes

L'erreur relative et l'erreur absolue, c'est la même chose

Remédiation: Compare une erreur de 2 cm sur un crayon de 10 cm (20 %) avec une erreur de 2 cm sur une porte de 200 cm (1 %). Même erreur absolue, erreur relative très différente. Montre le diagramme en barres des trois objets.

Peu importe qu'on divise par la valeur mesurée ou par la valeur réelle

Remédiation: Prends l'exemple du concert : estimation 300, réalité 120. Diviser par 120 donne 150 %, diviser par 300 donne 60 %. Demande quel nombre décrit honnêtement l'erreur : la référence doit être la vraie valeur.

Une erreur relative ne peut jamais dépasser 100 %

Remédiation: Les élèves la confondent avec une diminution en pourcentage, qui s'arrête à 100 %. Montre qu'une surestimation peut être aussi grande qu'on veut : estimer 50 quand la réponse est 20 donne 150 %. Seule une sous-estimation reste à 100 % ou moins.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer avec des valeurs réelles comme 10, 100 ou 1000 pour que la division soit facile
  • • Utiliser une liste en trois étapes : soustraire et enlever le signe, diviser par la valeur réelle, multiplier par 100
  • • Placer les deux valeurs sur une droite graduée et mesurer l'écart avant de calculer

Pour les élèves au niveau:

  • • Calculer des erreurs relatives à partir de vraies données de TP avec des décimaux et arrondir à deux décimales
  • • Comparer les erreurs relatives de plusieurs estimations dans un concours d'estimation
  • • Expliquer avec des mots pourquoi la même erreur absolue peut donner des erreurs relatives différentes

Pour les élèves avancés:

  • • Calcul à rebours : à partir de la valeur réelle et de l'erreur relative, trouver les deux valeurs mesurées possibles
  • • Chercher pourquoi une sous-estimation ne peut jamais avoir une erreur relative supérieure à 100 %
  • • Rechercher la tolérance admise d'un vrai instrument de mesure et décider si un résultat la respecte
Alignement aux standards
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes de rapports et de pourcentages en plusieurs étapes, y compris l'erreur relative

  • 7.NS.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.3)

    Résoudre des problèmes concrets et mathématiques avec les quatre opérations sur les nombres rationnels

  • HSN.Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)

    Choisir un niveau de précision adapté aux limites de la mesure pour donner des grandeurs

Ressources de la leçon
  • visualL'erreur sur la droite graduée

    Montre la valeur mesurée, la valeur réelle et la distance entre elles (l'erreur absolue)

  • activityBocal d'estimation

    Les élèves estiment le nombre d'objets dans un bocal, puis calculent et classent leurs erreurs relatives

  • activityTP du pendule

    Les élèves chronomètrent un pendule, calculent g et le comparent à 9,81 m/s² grâce à l'erreur relative

  • worksheetExercices sur l'erreur relative

    Problèmes de TP, d'estimation et de contrôle qualité, avec arrondis et erreurs supérieures à 100 %

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

L'erreur relative en pourcentage indique à quelle distance une valeur mesurée ou estimée se trouve de la valeur réelle, exprimée en pourcentage de la valeur réelle.
Erreur relative=∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣valeur reˊelle×100 %\text{Erreur relative} = \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%
Le calcul comporte trois parties :
  1. 1.Erreur absolue : la distance entre les deux valeurs, ∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|. Les barres de valeur absolue la rendent positive, car seule la taille de l'erreur compte.
  2. 2.Diviser par la valeur réelle : on compare ainsi l'erreur à la vraie taille de ce que tu as mesuré.
  3. 3.Multiplier par 100 : on transforme le nombre décimal en pourcentage.
Exemple : Tu estimes qu'un bocal contient 450 bonbons, mais il en contient réellement 500.
∣450−500∣500×100 %=50500×100 %=10 %\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\,\% = \frac{50}{500} \times 100\,\% = 10\,\%
La valeur réelle s'appelle aussi valeur de référence, valeur vraie ou valeur théorique. La valeur mesurée s'appelle aussi valeur expérimentale ou valeur estimée.
Dans Augmentation et diminution en pourcentage, tu divisais par la valeur initiale et tu gardais le signe (+ pour une hausse, −- pour une baisse). L'erreur relative est semblable, mais elle divise toujours par la valeur réelle et n'est jamais négative : elle répond seulement à la question "quelle est la taille de l'erreur ?"

Exemples résolus

À la kermesse de l'école, tu estimes qu'un bocal contient 450 bonbons. Il en contient en réalité 500. Quelle est ton erreur relative en pourcentage ?

1

Calcule l'erreur absolue

∣450−500∣=∣−50∣=50|450 - 500| = |-50| = 50 → Erreur absolue = 50 bonbons

2

Divise par la valeur réelle

50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1

3

Multiplie par 100

0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%

Erreurs courantes

Diviser par la valeur mesurée au lieu de la valeur réelle : ∣9,6−9,81∣9,6\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}

Pourquoi c'est faux: L'erreur relative compare ton erreur à la VRAIE taille de la grandeur. La valeur mesurée est justement celle qui peut être fausse, elle ne peut donc pas servir de référence.

Correct: Divise toujours par la valeur réelle (valeur de référence) : ∣9,6−9,81∣9,81×100 %≈2,14 %\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%

Oublier la valeur absolue et écrire une erreur relative négative, comme −10 %-10\,\%

Pourquoi c'est faux: L'erreur relative mesure la taille de l'erreur, pas son sens. Avoir 50 de moins, c'est une erreur aussi grande qu'avoir 50 de trop.

Correct: Utilise ∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|. Pour une estimation de 450 et une valeur réelle de 500 : ∣450−500∣=50|450 - 500| = 50, erreur relative 10 %10\,\%.

Oublier de multiplier par 100 et donner 0,10{,}1 comme erreur relative

Pourquoi c'est faux: 50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1 est un nombre décimal, pas un pourcentage. 0,1 %0{,}1\,\% voudrait dire une erreur 100 fois plus petite.

Correct: Multiplie par 100 : 0,1×100 %=10 %0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%.

Arrondir trop tôt, ou ne pas dire à combien de décimales on a arrondi

Pourquoi c'est faux: Si tu arrondis d'abord 0,219,81\frac{0{,}21}{9{,}81} à 0,020{,}02, tu obtiens 2 %2\,\% au lieu de 2,14 %2{,}14\,\%. Et une réponse comme 2,1 %2{,}1\,\% sans règle d'arrondi ne peut pas être vérifiée.

Correct: Garde tous les chiffres jusqu'à la dernière étape, puis arrondis une seule fois et précise comment : "2,14 %2{,}14\,\%, arrondi à deux décimales".

Pourquoi c'est important

Toute mesure comporte une erreur, et l'erreur relative en pourcentage te dit si cette erreur est petite ou grave :
  • Travaux pratiques de sciences : Tu mesures l'accélération de la pesanteur et trouves 9,6 m/s29{,}6\ \text{m/s}^2, alors que la valeur de référence est 9,81 m/s29{,}81\ \text{m/s}^2. Ton expérience est-elle bonne ? L'erreur relative dit qu'elle s'écarte d'environ 2 %.
  • Estimation : Les concours d'estimation, le nombre de personnes dans une foule et les plannings de projets peuvent être jugés avec l'erreur relative.
  • Contrôle qualité : Les usines vérifient que les balances, les règles et les machines restent sous une erreur relative fixée, par exemple 1 %.
  • Médecine et cuisine : Une petite dose de médicament ou une petite quantité de sel demande une mesure beaucoup plus précise qu'une grande.
La même erreur absolue peut être minuscule ou énorme : se tromper de 2 cm en mesurant une porte, ce n'est pas grave, mais se tromper de 2 cm sur un crayon, c'est une grosse erreur. L'erreur relative permet de comparer équitablement.

Applications dans le monde réel

TP de sciences : masse volumique de l'aluminium

Les scientifiques jugent une expérience en comparant leur résultat à la valeur de référence. Une erreur relative inférieure à environ 5 % est en général un bon résultat de TP au lycée.

Exemple:

Une classe mesure la vitesse du son et trouve 330 m/s330\ \text{m/s}. La valeur de référence est 343 m/s343\ \text{m/s}, donc l'erreur relative est 13343×100 %≈3,79 %\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%.

1Essaie par toi-même

Tu mesures la masse volumique d'un bloc d'aluminium et trouves 2,646 g/cm32{,}646\ \text{g/cm}^3. La valeur de référence pour l'aluminium est 2,70 g/cm32{,}70\ \text{g/cm}^3.

Quelle est l'erreur relative de ta mesure ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Concours d'estimation

Les jeux d'estimation, le comptage d'une foule et les plannings sont tous des estimations. L'erreur relative montre la qualité d'une estimation, quelle que soit la taille des nombres.

Exemple:

Si tu estimes 90 bonbons et qu'il y en a 100, ton erreur relative est 10100×100 %=10 %\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%.

2Essaie par toi-même

Un grand bocal à la fête foraine contient 1 250 billes. Tu estimes 1 000 billes.

Quelle est ton erreur relative ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Vérifier une balance de cuisine

Les commerces, les pharmacies et les usines testent leurs balances avec des masses étalons dont la masse est connue exactement. L'erreur relative leur dit si la balance peut encore être utilisée.

Exemple:

Une balance de pharmacie affiche 101 g pour une masse étalon de 100 g : l'erreur relative est 1100×100 %=1 %\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%.

3Essaie par toi-même

Tu poses une masse étalon d'exactement 500 g sur une balance de cuisine. La balance affiche 508 g.

Quelle est l'erreur relative de la balance ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Points clés

  • 1Erreur relative =∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣valeur reˊelle×100 %= \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%
  • 2L'erreur absolue ∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}| est la taille de l'erreur dans l'unité de départ ; l'erreur relative la compare à la valeur réelle
  • 3Divise toujours par la valeur réelle (valeur de référence), jamais par la valeur mesurée
  • 4L'erreur relative n'est jamais négative : trop haut ou trop bas de la même quantité donne la même erreur relative
  • 5Garde tous les chiffres jusqu'à la fin, puis arrondis une seule fois et indique le nombre de décimales
  • 6L'erreur relative peut dépasser 100 % quand une estimation vaut plus du double de la valeur réelle

Questions fréquentes

L'erreur relative peut-elle être négative ?

Pas avec la formule de cette leçon : la valeur absolue la rend nulle ou positive. Certains professeurs de sciences enlèvent la valeur absolue pour montrer si un résultat était trop haut (+) ou trop bas (−-). Avec une erreur relative signée, la taille reste la même, on ajoute seulement le sens.

L'erreur relative peut-elle dépasser 100 % ?

Oui. Si la valeur réelle est 20 et que tu estimes 50, l'erreur absolue est 30, et 3020×100 %=150 %\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%. Toute estimation supérieure au double de la valeur réelle donne une erreur relative supérieure à 100 %.

Qu'est-ce qu'une bonne erreur relative ?

Cela dépend de la tâche. En TP au lycée, moins de 5 % est en général bien et moins de 1 % est excellent. À un jeu d'estimation, moins de 10 % c'est très bien, alors qu'une dose de médicament ou une machine de précision peut exiger moins de 0,1 %.

Quelle est la différence entre erreur relative et variation en pourcentage ?

La variation en pourcentage compare une nouvelle valeur à la valeur initiale et garde le signe : +25 %+25\,\% est une hausse, −15 %-15\,\% une baisse. L'erreur relative compare une mesure à la valeur réelle et utilise la valeur absolue, donc elle n'est jamais négative. Dans les deux cas, on divise par la valeur de référence et on multiplie par 100.

Glossaire

Valeur mesurée
La valeur obtenue par une mesure, une expérience ou une estimation (aussi appelée valeur expérimentale ou valeur estimée)
Valeur réelle
La valeur vraie ou admise avec laquelle on compare la mesure (aussi appelée valeur de référence, valeur vraie ou valeur théorique)
Erreur absolue
La distance entre la valeur mesurée et la valeur réelle, ∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|, dans l'unité de départ
Erreur relative en pourcentage
L'erreur absolue divisée par la valeur réelle, multipliée par 100 %
Valeur absolue
La distance d'un nombre à zéro, toujours nulle ou positive : ∣−3∣=3|-3| = 3

Carte des formules

Erreur relative en pourcentage

Erreur relative=∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣valeur reˊelle×100 %\text{Erreur relative} = \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%

La taille de l'erreur, en pourcentage de la valeur réelle

Erreur absolue

Erreur absolue=∣valeur mesureˊe−valeur reˊelle∣\text{Erreur absolue} = |\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|

La taille de l'erreur dans l'unité de départ (cm, g, personnes)

Calcul à rebours

valeur mesureˊe=valeur reˊelle±valeur reˊelle×erreur relative100\text{valeur mesurée} = \text{valeur réelle} \pm \text{valeur réelle} \times \frac{\text{erreur relative}}{100}

Prends + si la mesure était trop haute et $-$ si elle était trop basse

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