Guide de l'enseignant: Propriété du produit pour les logarithmes

Comprends pourquoi le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, et utilise cette propriété pour développer, regrouper et calculer.

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Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la propriété du produit pour les logarithmes et les conditions sur la base et les arguments
Justifier la propriété avec la règle des exposants $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
Développer le logarithme d'un produit en somme de logarithmes
Regrouper une somme de logarithmes de même base en un seul logarithme
Donner des valeurs approchées de logarithmes de produits à partir de valeurs connues comme $\log 2 \approx 0{,}301$

Prérequis

• Définition du logarithme : $\log_b y = x$ signifie $b^x = y$
• Règle de multiplication des puissances : $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
• Logarithme décimal (base 10) : lire $\log x$ comme $\log_{10} x$
• Propriétés des logarithmes : vue d'ensemble des règles de calcul

Amorces de discussion

1. Pourquoi multiplier deux nombres additionne-t-il leurs logarithmes ? En quoi est-ce la même chose que $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ ?
2. Si $\log 2 \approx 0{,}301$ , que vaut $\log 20$ ? Et $\log 200$ ? Quelle régularité remarques-tu ?
3. Ton ami écrit $\log(x + 5) = \log x + \log 5$ . Comment le convaincrais-tu que c'est faux ?
4. Avant les calculatrices, pourquoi une table de logarithmes rendait-elle plus facile la multiplication de grands nombres ?

Idées reçues courantes

Traiter $\log$ comme un nombre qu'on distribue sur une somme : $\log(M + N) = \log M + \log N$

Remédiation: Fais comparer aux élèves $\log(6 + 4)$ et $\log 6 + \log 4$ dans la calculatrice. Insiste sur le fait que $\log$ est une fonction, pas un facteur, et que la propriété exige un produit à l'intérieur.

Croire que le logarithme d'un produit est le produit des logarithmes

Remédiation: Compare $\log_2(4 \cdot 8) = 5$ et $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$ . Reviens aux exposants : $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$ , les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient pas.

Croire qu'on peut regrouper n'importe quels logarithmes, même de bases différentes

Remédiation: Reprends la démonstration : elle exige une seule base $b$ pour les deux puissances. Montre que $\log_2 8 + \log_4 16 = 3 + 2 = 5$ , mais que le produit vaut $8 \cdot 16 = 128$ avec $\log_2 128 = 7$ et $\log_4 128 = 3{,}5$ : aucune des deux bases ne donne $5$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer en base 2 avec des puissances de 2 pour que chaque logarithme soit un entier ( $\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32$ )
• Écrire d'abord chaque nombre comme une puissance ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ ) et additionner les exposants
• Vérifier chaque développement numériquement dans la calculatrice

Pour les élèves au niveau:

• Développer des expressions comme $\log_5(25xy)$ et regrouper des sommes comme $\log_6 4 + \log_6 9$
• Donner des valeurs approchées de $\log 6$ , $\log 12$ et $\log 2000$ à partir de $\log 2$ et $\log 3$
• Repérer les affirmations vraies et fausses sur les logarithmes et corriger les fausses

Pour les élèves avancés:

• Démontrer la propriété du produit avec leurs propres mots à partir de la définition du logarithme
• Expliquer avec la courbe pourquoi $y = \log_2(ax)$ est un décalage vertical de $y = \log_2 x$
• Regrouper des expressions avec des variables et donner l'ensemble de définition, comme $\log x + \log(x - 4)$

Alignement aux standards

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Exprimer la solution d'un modèle exponentiel avec un logarithme et calculer ce logarithme avec un outil
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprendre la relation réciproque entre puissances et logarithmes et l'utiliser pour résoudre des problèmes
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Utiliser la structure d'une expression pour trouver des façons de la réécrire

Ressources de la leçon

visualCourbe du logarithme décalée
Fais varier $a$ et observe que $y = \log_2(a x)$ est la courbe de $y = \log_2 x$ décalée vers le haut de $\log_2 a$
activityVérification à la calculatrice
Les élèves testent des affirmations vraies et fausses comme $\log 20 = \log 4 + \log 5$ et $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
worksheetDévelopper et regrouper
Exercices variés pour développer des produits et regrouper des sommes, avec des estimations à partir de $\log 2$ et $\log 3$

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La propriété du produit des logarithmes dit que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs :

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Elle est vraie pour toute base

b > 0

b \neq 1

, et pour tous nombres

M

N

strictement positifs.

Pourquoi elle est vraie : un logarithme est un exposant. Écris

M = b^m

N = b^n

, donc

\log_b M = m

\log_b N = n

. Quand tu multiplies des puissances de même base, tu additionnes les exposants :

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

L'exposant de

MN

est donc

m + n

, c'est-à-dire

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Vérification avec des nombres :

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Lue de gauche à droite, la propriété développe le logarithme d'un produit en une somme. Lue de droite à gauche, elle regroupe une somme de logarithmes (de même base) en un seul logarithme.

Exemples résolus

Montre que $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ .

Calcule le membre de gauche

$4 \cdot 8 = 32$ et $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Calcule chaque logarithme du membre de droite

$2^2 = 4$ et $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Additionne et compare

$2 + 3 = 5$ , comme à gauche → $5 = 5$

Réponse: Les deux membres valent $5$ : multiplier $4$ par $8$ additionne les exposants $2$ et $3$ .

Erreurs courantes

Écrire $\log(M + N) = \log M + \log N$

Pourquoi c'est faux: La propriété concerne un produit dans le logarithme, pas une somme. Vérification : $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , mais $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Correct: Seule l'égalité $\log(MN) = \log M + \log N$ est vraie. Le logarithme d'une somme, comme $\log(x + 3)$ , ne se découpe pas.

Multiplier les logarithmes : $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Pourquoi c'est faux: Multiplier les nombres additionne les exposants, cela ne les multiplie pas. Vérification : $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , mais $\log_2 32 = 5$ .

Correct: Un produit à l'intérieur devient une somme à l'extérieur : $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Regrouper des logarithmes de bases différentes : $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Pourquoi c'est faux: La démonstration utilise $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , ce qui n'est vrai que si les deux puissances ont la même base $b$ .

Correct: Regroupe seulement des logarithmes de même base. $\log_2 x + \log_3 y$ reste tel quel (ou utilise d'abord la formule de changement de base).

Appliquer la propriété à des facteurs négatifs : $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Pourquoi c'est faux: $\log 10 = 1$ existe, mais $\log(-2)$ et $\log(-5)$ n'existent pas : l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Correct: La propriété exige $M > 0$ et $N > 0$ . Quand tu regroupes, garde l'ensemble de définition des logarithmes de départ (par exemple $x > 0$ ).

Pourquoi c'est important

La propriété du produit transforme une multiplication en addition, et c'est exactement pour cela que les logarithmes ont été inventés :

Calculer à la main : avant les calculatrices, on multipliait de grands nombres en additionnant leurs logarithmes lus dans une table (la règle à calcul additionne aussi des longueurs).
Calculer des logarithmes : si tu connais $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ , tu obtiens $\log 6 \approx 0{,}778$ sans calculatrice.
Son et sciences : quand un son devient 100 fois plus intense, son niveau en décibels augmente d'une valeur fixe, car $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Résoudre des équations : dans la leçon Résoudre des équations logarithmiques, tu regrouperas $\log_2 x + \log_2(x+2)$ en un seul logarithme avant de résoudre.
Informatique : combiner des choix indépendants multiplie les possibilités mais additionne les bits, car $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Applications dans le monde réel

Décibels et intensité sonore

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Quand l'intensité $I$ est multipliée par un facteur $k$, la propriété du produit donne $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, donc le niveau augmente de $10 \log k$.

Exemple:

Un son qui devient 10 fois plus intense augmente de $10 \log 10 = 10$ décibels, quel que soit son niveau de départ.

1Essaie par toi-même

Dans une rue, on mesure $60$ décibels. Une machine de chantier rend l'intensité sonore $1000$ fois plus grande.

Quel est le nouveau niveau sonore en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ajoute $10 \log(1000)$ à l'ancien niveau :

Règle à calcul : multiplier en additionnant

Une règle à calcul place chaque nombre $x$ à une distance $\log x$ du début. Faire glisser une échelle le long de l'autre additionne deux distances, et d'après la propriété du produit, la somme des distances est le logarithme du produit.

Exemple:

Pour multiplier $2 \cdot 3$ , on additionne $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ , et c'est là qu'est marqué le $6$ .

2Essaie par toi-même

Sur une règle à calcul, le $4$ est à la distance $\log 4 \approx 0{,}602$ et le $5$ à la distance $\log 5 \approx 0{,}699$ . Mis bout à bout, ils donnent une distance totale.

Quel produit la règle à calcul affiche-t-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le nombre dont le logarithme est la distance totale :

Les bits d'information

En informatique, il faut $\log_2 N$ bits pour enregistrer une option parmi $N$ options équiprobables. Combiner deux choix indépendants multiplie les options mais additionne les bits.

Exemple:

Un choix parmi $8$ symboles demande $\log_2 8 = 3$ bits, un choix parmi $4$ demande $2$ bits, et les deux ensemble donnent $32$ options : $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

3Essaie par toi-même

Un personnage de jeu est enregistré avec une couleur parmi $16$ et une forme parmi $64$ .

Combien de bits faut-il pour enregistrer la couleur et la forme ensemble ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Points clés

1Propriété du produit : $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ pour $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Elle vient de la règle des exposants $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : multiplier des nombres additionne leurs exposants
3Développer : écrire le logarithme d'un produit comme une somme, par exemple $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Regrouper : écrire une somme de logarithmes de même base comme un seul logarithme, par exemple $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Avec $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ , tu peux approcher les logarithmes de produits, comme $\log 6 \approx 0{,}778$
6Il n'existe pas de règle pour $\log(M + N)$ : le logarithme d'une somme ne se découpe pas

Questions fréquentes

La propriété du produit marche-t-elle avec plus de deux facteurs ?

Oui. Applique-la plusieurs fois :

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Par exemple

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

Est-ce qu'elle marche aussi pour le logarithme népérien ?

Oui, elle est vraie pour toute base valable, y compris

e

\ln(MN) = \ln M + \ln N

. Par exemple

\ln 2 + \ln 5 = \ln 10

Existe-t-il une règle pour $\log(M + N)$ ?

Non. En général, le logarithme d'une somme n'a pas de forme plus simple.

\log(6 + 4) = \log 10 = 1

, alors que

\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380

Quelle différence avec les propriétés du quotient et de la puissance ?

Ce sont des variantes de la même idée. La propriété du produit transforme une multiplication en addition ; la Propriété du quotient des logarithmes transforme une division en soustraction ; la Propriété de la puissance des logarithmes transforme une puissance en multiplication par l'exposant.

Glossaire

Propriété du produit: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes
Développer: Écrire un logarithme comme une somme de logarithmes plus simples, par exemple $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Regrouper: Écrire une somme de logarithmes de même base sous forme d'un seul logarithme
Argument: Le nombre dans le logarithme, $M$ dans $\log_b M$ ; il doit être strictement positif
Logarithme décimal: Le logarithme de base 10, noté $\log x$

Carte des formules

Propriété du produit

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Pour $M, N > 0$ et $b > 0$, $b \neq 1$

D'où elle vient

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Multiplier des puissances additionne les exposants

Trois facteurs

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

Appliquer la propriété plusieurs fois

Valeurs utiles

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Logarithmes décimaux pour estimer les logarithmes de produits

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Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Décibels et intensité sonore

Règle à calcul : multiplier en additionnant

Les bits d'information

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété du produit

D'où elle vient

Trois facteurs

Valeurs utiles

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