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Guide de l'enseignant: Droite d'ajustement

Apprends à tracer à vue une droite d'ajustement sur un nuage de points, à trouver son équation à partir de deux points et à interpréter sa pente et son ordonnée à l'origine.

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Quiz de classe

10 questions sur Régression. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Tracer à vue une droite d'ajustement avec environ la moitié des points au-dessus et la moitié en dessous
  • Juger si une droite donnée s'ajuste aux données et dire comment l'améliorer
  • Écrire l'équation d'une droite d'ajustement à partir de deux points de la droite
  • Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine d'une droite d'ajustement dans le contexte, avec les unités
  • Utiliser le point moyen pour vérifier et ajuster une droite d'ajustement
Prérequis
  • • Nuages de points : lire des points et décrire une tendance
  • • Pente et équation réduite d'une droite y=mx+by = mx + b
  • • Calculer la moyenne d'une liste de nombres
  • • Introduction à la régression et Régression linéaire (utile, pas obligatoire)
Amorces de discussion
  • 1. Deux camarades ont tracé des droites d'ajustement différentes pour les mêmes données. Peuvent-ils avoir raison tous les deux ?
  • 2. Pourquoi une droite qui passe par le premier et le dernier point est-elle souvent un mauvais choix ?
  • 3. Que t'apprend une pente négative sur la situation ?
  • 4. Connais-tu une droite d'ajustement dont l'ordonnée à l'origine n'a aucun sens dans la vie réelle ?
  • 5. Pourquoi est-il utile de placer le point moyen avant de tracer la droite ?
Idées reçues courantes

La droite doit passer par le plus de points de données possible

Remédiation: Montre une droite qui touche 3 points mais en laisse 5 d'un seul côté. Montre ensuite une droite qui n'en touche aucun mais équilibre les points. Demande laquelle décrit mieux la tendance.

Il existe exactement une seule bonne droite d'ajustement à vue

Remédiation: Fais tracer à des groupes des droites pour les mêmes données et comparer les équations. Des pentes comme 1,9 et 2,1 conviennent toutes les deux ; discutez de ce qui rend une droite clairement fausse.

L'ordonnée à l'origine a toujours un sens réel

Remédiation: Prends la taille et l'envergure des bras, ou la température et les ventes de limonade. Montre que x=0x = 0 peut être très loin des données, donc l'ordonnée à l'origine n'est qu'une partie de l'équation.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commencer avec des données qui ont une tendance très nette et peu de points
  • • Donner deux droites possibles et demander seulement laquelle s'ajuste le mieux
  • • Proposer des droites qui coupent l'axe des ordonnées sur un nœud du quadrillage pour lire b directement

Pour les élèves au niveau:

  • • Tracer des droites à vue et écrire leurs équations à partir de deux nœuds du quadrillage
  • • Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine avec les unités dans plusieurs contextes
  • • Comparer les droites de la classe avec le point moyen des données

Pour les élèves avancés:

  • • Comparer une droite tracée à vue avec la droite des moindres carrés donnée par un logiciel
  • • Trouver des séries de données où l'ordonnée à l'origine n'a pas de sens et expliquer pourquoi
  • • Étudier comment une seule valeur aberrante déplace la droite d'ajustement
Alignement aux standards
  • 8.SP.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.2)

    Savoir que les droites servent souvent à modéliser la relation entre deux variables quantitatives ; ajuster une droite à vue et juger l'ajustement d'après la proximité des points à la droite

  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    Utiliser l'équation d'un modèle linéaire pour résoudre des problèmes sur des données à deux variables, en interprétant la pente et l'ordonnée à l'origine

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Ajuster une fonction affine à un nuage de points qui suggère une relation linéaire

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpréter la pente (taux de variation) et l'ordonnée à l'origine (terme constant) d'un modèle linéaire dans le contexte des données

Ressources de la leçon
  • visualPlace ta propre droite

    Les élèves touchent deux nœuds du quadrillage sur le nuage de points et voient aussitôt l'équation de leur droite

  • activityDroite en spaghetti

    Les élèves posent un spaghetti cru sur un nuage de points imprimé pour trouver la meilleure position, puis comparent les équations

  • worksheetExercices sur la droite d'ajustement

    Juger des droites données, tracer les siennes et écrire leurs équations

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une droite d'ajustement (aussi appelée droite de tendance) est une droite tracée dans un nuage de points qui montre la tendance générale des données. Elle n'a besoin de passer par aucun des points.
Une bonne droite d'ajustement tracée à vue :
  • a environ la moitié des points au-dessus d'elle et la moitié en dessous
  • suit la direction des points (montante, descendante, plus ou moins raide)
  • a les points répartis sur toute sa longueur, et pas tous au-dessus à un bout et tous en dessous à l'autre
Une fois la droite tracée, choisis deux points sur la droite (pas des points de données), éloignés et sur des nœuds du quadrillage, et trouve son équation y=mx+by = mx + b :
m=y2−y1x2−x1,b=y1−mx1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1
Le point moyen (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) est un repère utile : la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés passe toujours par lui, donc une bonne droite tracée à vue doit passer par lui ou très près.

Exemples résolus

Mia compte ses pompes en une minute après chaque semaine d'entraînement. Semaines 1 à 8 : 6,6,9,12,12,16,16,196, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19. Trois élèves tracent une droite à vue : - Droite A : y=2x+3y = 2x + 3 - Droite B : y=2x+7y = 2x + 7 - Droite C : y=0,5x+9y = 0{,}5x + 9 Quelle droite est la meilleure droite d'ajustement ?
1

Vérifie la droite B

La droite B donne 9,11,13,15,17,19,21,239, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 pour les semaines 1 à 8. Chaque point de données est plus bas. → Les 8 points sont sous la droite B : elle est trop haute
2

Vérifie la droite C

La droite C donne 9,5;10;10,5;11;11,5;12;12,5;139{,}5 ; 10 ; 10{,}5 ; 11 ; 11{,}5 ; 12 ; 12{,}5 ; 13. Les semaines 1 à 3 sont en dessous, les semaines 4 à 8 au-dessus. → Points en dessous à gauche, au-dessus à droite : la droite C est trop plate
3

Vérifie la droite A

La droite A donne 5,7,9,11,13,15,17,195, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Au-dessus : semaines 1, 4, 6. En dessous : semaines 2, 5, 7. Sur la droite : semaines 3, 8. → 3 au-dessus, 3 en dessous, répartis sur toute la droite
4

Décide

Seule la droite A a des points équilibrés des deux côtés sur toute sa longueur et suit la tendance montante. → La droite A s'ajuste le mieux

Erreurs courantes

Tracer la droite du premier point de données au dernier

Pourquoi c'est faux: Le premier et le dernier point peuvent être inhabituels. Une droite qui passe par eux laisse souvent la plupart des points d'un seul côté.

Correct: Ne regarde pas les points isolés mais tout le nuage : environ la moitié des points au-dessus, la moitié en dessous. La droite peut ne passer par aucun point.

Équilibrer le nombre de points sans suivre la tendance

Pourquoi c'est faux: Une droite trop plate peut avoir 4 points au-dessus et 4 en dessous, mais tous les points bas sont à gauche et tous les points hauts à droite.

Correct: Vérifie les deux bouts : près de chaque extrémité de la droite, il doit y avoir des points au-dessus et en dessous.

Calculer la pente avec deux points de données au lieu de deux points de la droite

Pourquoi c'est faux: Les points de données ne sont en général pas sur la droite, donc leur pente n'est pas celle de ta droite.

Correct: Lis deux points situés sur ta droite tracée, éloignés et sur des nœuds du quadrillage, puis utilise m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Lire la pente comme une valeur de y au lieu d'une variation

Pourquoi c'est faux: Dans y=2x+3y = 2x + 3 pour les semaines et les pompes, 22 ne veut pas dire "2 pompes". C'est la variation par semaine.

Correct: Énonce la pente avec les deux unités : environ 2 pompes de plus par semaine d'entraînement.

Pourquoi c'est important

Les vraies données ne sont jamais exactement alignées, mais elles suivent souvent une tendance claire :
  • Sport : une entraîneuse voit de combien une athlète progresse par semaine d'entraînement
  • Commerce : un café voit combien de boissons chaudes en moins il vend chaque jour plus chaud
  • Sciences : un élève trouve, à partir de mesures dispersées, à quelle vitesse une plante grandit par jour
  • Argent : un acheteur voit combien un vélo d'occasion perd de valeur par an
Une droite d'ajustement transforme un nuage de points en une règle simple y=mx+by = mx + b. La pente dit de combien yy change par unité de xx, l'ordonnée à l'origine dit où la tendance commence. C'est la première étape avant de faire des prévisions, d'étudier les résidus et de mesurer la qualité d'un ajustement.

Applications dans le monde réel

S'entraîner pour une course

Les entraîneurs tracent une droite de tendance à travers les temps d'une athlète pour voir de combien elle progresse chaque semaine.

Exemple:

Les temps d'une coureuse sur 5 km passent d'environ 30 minutes à environ 22 minutes en quelques semaines. La droite de tendance montre la progression régulière, même les mauvais jours.

1Essaie par toi-même

La droite d'ajustement du temps yy (minutes) d'une coureuse sur 5 km après xx semaines passe par (2,30)(2, 30) et (6,22)(6, 22).

Quelle est la pente de la droite, en minutes par semaine ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pente = variation de y divisée par variation de x :

Stand de limonade

Les petits vendeurs représentent la température et les ventes pour prévoir combien préparer.

Exemple:

Les jours de chaleur, un stand vend beaucoup plus de gobelets. Une droite de tendance à travers les données d'un été montre combien de gobelets en plus chaque degré apporte environ.

2Essaie par toi-même

La droite d'ajustement d'un stand de limonade pour la température xx (°C) et les gobelets vendus yy passe par (20,30)(20, 30) et (30,50)(30, 50).

Quelle est l'ordonnée à l'origine bb de cette droite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve la pente, puis utilise b=y1−mx1b = y_1 - m x_1 :

Expérience sur la croissance d'une plante

En cours de SVT, les élèves mesurent une plante tous les deux ou trois jours et décrivent sa vitesse de croissance avec une droite de tendance.

Exemple:

Les mesures ne sont jamais parfaites, donc les hauteurs se dispersent un peu. La droite d'ajustement donne une seule vitesse de croissance en centimètres par jour.

3Essaie par toi-même

Une plante est mesurée les jours 2,4,6,82, 4, 6, 8, avec les hauteurs 3,6,8,113, 6, 8, 11 cm. La droite d'ajustement a une pente de 1,31{,}3 et passe par le point moyen.

Quelle est l'ordonnée à l'origine bb de la droite ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le point moyen dans b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x} :

Points clés

  • 1Une droite d'ajustement est une droite qui montre la tendance générale des points d'un nuage de points
  • 2Trace-la à vue pour qu'environ la moitié des points soit au-dessus et la moitié en dessous, sur toute sa longueur
  • 3La droite suit la direction des données et peut ne passer par aucun point de données
  • 4Trouve son équation à partir de deux points de la droite : m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, puis b=y1−mx1b = y_1 - m x_1
  • 5La pente est la variation de yy par unité de xx ; l'ordonnée à l'origine est la valeur prévue de yy pour x=0x = 0, qui peut n'avoir aucun sens réel
  • 6La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}), donc une bonne droite tracée à vue passe près de lui

Questions fréquentes

Existe-t-il une seule bonne droite d'ajustement ?

À vue, non. Deux élèves peuvent tracer des droites un peu différentes et toutes deux bonnes. Leurs pentes et leurs ordonnées à l'origine seront proches. Seule la droite des moindres carrés, vue dans la leçon Régression linéaire, est une droite exacte et unique.

La droite doit-elle passer par l'origine ?

Non. La droite va là où les données la mènent. Ne la force à passer par (0,0)(0, 0) que si la situation commence vraiment à zéro et que les données le confirment.

Faut-il compter les points situés exactement sur la droite ?

Les points sur la droite ne comptent pour aucun côté. Équilibre les points au-dessus avec les points en dessous.

Quand ne faut-il pas tracer de droite d'ajustement ?

Quand le nuage de points ne montre aucune tendance, ou quand les points suivent une courbe nette. Une droite n'a de sens que pour une tendance linéaire.

Glossaire

Droite d'ajustement
Une droite tracée dans un nuage de points qui montre la tendance générale des données (aussi appelée droite de tendance)
Pente
La variation de yy quand xx augmente de 1 ; le long de la droite, m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Ordonnée à l'origine
La valeur de yy où la droite coupe l'axe des ordonnées, pour x=0x = 0
Point moyen
Le point (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) formé de la moyenne de toutes les valeurs de x et de la moyenne de toutes les valeurs de y (souvent noté G)
Droite de régression
La droite d'ajustement exacte obtenue par la méthode des moindres carrés ; elle passe toujours par le point moyen

Carte des formules

Pente à partir de deux points

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Utilise deux points de la droite tracée, pas des points de données

Ordonnée à l'origine

b=y1−mx1b = y_1 - m x_1

Remplace un point de la droite et la pente dans $y = mx + b$

Droite d'ajustement

y=mx+by = mx + b

L'équation de la droite de tendance

Point moyen

yˉ=mxˉ+b\bar{y} = m\bar{x} + b

La droite des moindres carrés passe par $(\bar{x}, \bar{y})$

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