Guida per l'insegnante: Fallacie logiche comuni

Impara a riconoscere e correggere le fallacie logiche più comuni, dall'affermazione del conseguente alla confusione tra correlazione e causalità, con esempi matematici.

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10 domande su Ragionamento logico. Gli studenti partecipano con un nome, tu vedi tutti i punteggi.

Per gli insegnanti

Obiettivi di apprendimento

Distinguere le forme valide dall'affermazione del conseguente e dalla negazione dell'antecedente
Riconoscere le fallacie informali più comuni in argomentazioni scritte e spiegare l'errore
Usare un controesempio per mostrare che una conclusione non segue
Riconoscere le statistiche usate male: totali al posto di tassi, campioni piccoli e correlazione presentata come causalità
Riscrivere un'argomentazione fallace in modo che diventi valida oppure onesta

Prerequisiti

• Enunciati se... allora: ipotesi, conclusione e tavola di verità di $p \to q$
• Inversa e contraria: perché un'affermazione vera può avere un'inversa falsa
• Contronominale: la forma equivalente $\neg q \to \neg p$
• Percentuali e tassi, come $\frac{90}{120} \times 100$

Spunti di discussione

1. Se piove, la strada è bagnata. La strada è bagnata. È piovuto? Che cos'altro potrebbe essere successo?
2. Un'argomentazione con una fallacia può comunque avere una conclusione vera? Fai un esempio.
3. Trova un titolo che confronta dei totali. Di quale numero avresti bisogno per un confronto equo?
4. Quando è ragionevole fidarsi di un esperto, e quando diventa un appello all'autorità?

Idee sbagliate comuni

Se la conclusione è vera, l'argomentazione deve essere valida

Rimedio: Mostra un'argomentazione non valida con conclusione vera: se un numero è divisibile per 6, allora è pari. 12 è pari, quindi 12 è divisibile per 6. La conclusione è vera, ma la stessa forma dà un risultato falso con 14.

Una forte correlazione dimostra che una cosa causa l'altra

Rimedio: Usa le vendite di gelati e le scottature: entrambe aumentano d'estate. Chiedi agli studenti di nominare il terzo fattore nascosto (il tempo soleggiato) prima di parlare di esperimenti controllati.

Se qualcosa ha funzionato tante volte, funzionerà sempre

Rimedio: Fai calcolare $2^n - 1$ con la calcolatrice per $n = 2, 3, 5, 7$ , chiedi una congettura, poi rivela $n = 11$ e i fattori $23 \times 89$ . La sorpresa fa sì che il concetto resti impresso.

Idee di differenziazione

Per studenti in difficoltà:

• Dare una tabella con le quattro forme e far associare ogni argomentazione a una riga
• Partire da argomentazioni della vita quotidiana prima di passare ai numeri
• Fornire il controesempio e chiedere di spiegare perché smonta l'argomentazione

Per studenti a livello:

• Dare un nome alla fallacia in dieci brevi argomentazioni e scrivere una versione corretta di ciascuna
• Calcolare tassi a partire da dati di cronaca e decidere se un titolo è corretto
• Usare la tavola di verità di $p \to q$ per spiegare perché l'affermazione del conseguente fallisce

Per studenti avanzati:

• Indagare su un'affermazione statistica reale e individuare le possibili variabili confondenti
• Trovare con la calcolatrice il numero primo $n$ successivo a 11 per cui $2^n - 1$ non è primo
• Scrivere un breve discorso per un dibattito che eviti tutte le fallacie della lezione e farlo controllare ai compagni

Allineamento agli standard

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Costruire argomentazioni sostenibili e criticare il ragionamento degli altri
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguere tra correlazione e causalità
HSS.IC.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.6)
Valutare resoconti basati su dati

Risorse della lezione

visualTavola di verità interattiva
Gli studenti trovano la riga di $p \to q$ in cui entrambe le premesse sono vere ma $p$ è falsa
activityDetective delle fallacie
I gruppi raccolgono pubblicità e titoli, danno un nome alla fallacia e riscrivono l'affermazione in modo onesto
worksheetValida o fallacia?
Classificare 12 argomentazioni in modus ponens, modus tollens, affermazione del conseguente e negazione dell'antecedente

Contenuto della lezione

Tutto ciò che vedono gli studenti: definizione, esempi, errori comuni, applicazioni. Tocca per aprire.

Definizione

Una fallacia è un errore di ragionamento: la conclusione non segue dalle premesse, anche se l'argomentazione sembra convincente. Esistono due famiglie.

1. Le fallacie formali sono errori nella forma di un'argomentazione. Due di esse nascono dalle implicazioni

p \to q

. Confrontale con le due forme valide:

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Forma} & \text{Premesse} & \text{Conclusione} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{valida} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{valida} \\ \text{Affermazione del conseguente} & p \to q,\ q & p & \text{non valida} \\ \text{Negazione dell'antecedente} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{non valida} \end{array}

L'affermazione del conseguente è l'errore dell'inversa (

q \to p

), e la negazione dell'antecedente è l'errore della contraria (

\neg p \to \neg q

). La tavola di verità mostra perché falliscono: nella riga in cui

p

è F (falso) e

q

è T (vero), l'implicazione

p \to q

è vera e

q

è vera, quindi entrambe le premesse sono vere, ma

p

è falsa. (La tavola interattiva verifica l'errore dell'inversa: la sua ultima colonna vale F proprio in questa riga. Scrive V per vero e F per falso.)

2. Le fallacie informali sono errori nel contenuto di un'argomentazione:

Argomento ad hominem: attaccare la persona invece della sua argomentazione.
Argomento fantoccio (uomo di paglia): trasformare l'affermazione dell'altro in una versione più debole e attaccare quella.
Falso dilemma: offrire solo due possibilità quando ce ne sono altre.
Generalizzazione affrettata: una regola generale ricavata da troppo pochi casi.
Ragionamento circolare: la conclusione è nascosta nelle premesse.
China pericolosa (pendio scivoloso): sostenere che un piccolo passo porti per forza a un disastro.
Appello all'autorità: è vero perché lo ha detto una persona famosa o potente.
Correlazione e causalità: due cose avvengono insieme, quindi una causerebbe l'altra.

Importante: una fallacia mostra che l'argomentazione non dimostra la sua conclusione. La conclusione in sé può comunque essere vera o falsa.

Esempi svolti

Argomentazione: se un numero è divisibile per 6, allora è pari. 14 è pari. Quindi 14 è divisibile per 6. L'argomentazione è valida?

Dai un nome alle parti

$p$ : il numero è divisibile per 6. $q$ : il numero è pari. → Regola: $p \to q$

Trova quale parte è data

Ci viene detto che 14 è pari, quindi è data la conclusione $q$ , e l'argomentazione ne deduce $p$ . → Forma: $p \to q,\ q$ , quindi $p$

Confronta con le forme valide

Il modus ponens richiede $p$ come premessa, non $q$ . Questa è un'affermazione del conseguente. → Forma non valida

Verifica con un calcolo

$14 \div 6 = 2$ con resto $2$ → 14 non è divisibile per 6

Risposta: L'argomentazione non è valida: afferma il conseguente. 14 è pari ma non è divisibile per 6, quindi qui la conclusione è addirittura falsa.

Errori comuni

Pensare che una fallacia dimostri che la conclusione è falsa

Perché è sbagliato: Una fallacia mostra solo che l'argomentazione non dimostra la sua conclusione. Prendi la regola: se $x = 2$ , allora $x^2 = 4$ . Concludere $x = 2$ da $x^2 = 4$ non è valido, eppure $x$ potrebbe valere $2$ .

Corretto: Di' che la conclusione non segue. Per mostrare che è falsa ti serve un controesempio, qui $x = -2$ .

Confondere l'affermazione del conseguente con il modus ponens

Perché è sbagliato: Entrambi usano $p \to q$ e si somigliano. La differenza sta in quale parte è data come premessa.

Corretto: Se è data $p$ , puoi concludere $q$ (valido). Se è data $q$ , non puoi concludere $p$ (affermazione del conseguente).

Considerare molti esempi come una dimostrazione

Perché è sbagliato: Verificare 3 casi, o anche 100, resta una generalizzazione affrettata se l'affermazione riguarda tutti i numeri.

Corretto: Usa gli esempi per formulare una congettura, poi dimostrala con un ragionamento che copra ogni caso, oppure trova un controesempio.

Chiamare appello all'autorità ogni citazione di un esperto

Perché è sbagliato: Citare un esperto competente insieme alle prove è normale. La fallacia consiste nell'usare un nome al posto delle prove, soprattutto fuori dal campo di quella persona.

Corretto: Chiediti: questa persona è esperta proprio di questo argomento, e quali prove sostengono l'affermazione?

Perché è importante

Le fallacie sono ovunque, e molte si nascondono dietro i numeri:

Matematica: verificare una formula in 4 casi non è una dimostrazione. Per i numeri primi $n = 2, 3, 5, 7$ il numero $2^n - 1$ è primo, ma per $n = 11$ dà $2047 = 23 \times 89$ .
Notizie e statistica: i titoli spesso trasformano una correlazione in una causa, oppure riportano grandi totali senza dividerli per la popolazione.
Pubblicità: 8 utenti su 10 sono entusiasti! sembra forte, finché non scopri che sono state intervistate solo 10 persone.
Dibattiti e social network: gli attacchi personali e gli argomenti fantoccio sostituiscono le vere argomentazioni, e i falsi dilemmi nascondono opzioni migliori.
Scienza: i ricercatori usano gruppi di controllo proprio perché correlazione non è causalità.

Quando sai dare un nome a una fallacia, puoi spiegare esattamente che cosa manca e come correggere l'argomentazione.

Applicazioni nel mondo reale

Promesse pubblicitarie

La pubblicità ama le percentuali e i volti famosi. Un piccolo campione e una celebrità sono una generalizzazione affrettata e un appello all'autorità che lavorano insieme.

Esempio:

Uno spot dice: l'80 % degli utenti ha voti migliori, parola di un calciatore famoso! Il calciatore non è un esperto di apprendimento, e l'80 % potrebbe venire da pochissime persone.

1Provaci tu stesso

Un'app di studio ha 5000 utenti. L'80 % dello spot viene da un sondaggio fra 10 utenti, di cui 8 hanno risposto sì.

Quale percentuale di tutti gli utenti è stata davvero intervistata?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi la quota di utenti intervistati, in percentuale:

Titoli di giornale e totali

I titoli confrontano spesso dei totali senza dividerli per la grandezza del gruppo. Le grandi città hanno totali grandi di quasi tutto.

Esempio:

La città A ha 4000 decessi l'anno e la città B solo 300, così un giornale titola: la città A è molto più pericolosa. Ma la città A ha 2000000 di abitanti e la città B 100000.

2Provaci tu stesso

Città A: 2000000 di abitanti, 4000 decessi l'anno. Città B: 100000 abitanti, 300 decessi l'anno. Confronta i tassi ogni 1000 abitanti.

Quale città ha il tasso di mortalità più alto ogni 1000 abitanti?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il tasso ogni 1000 abitanti della città A:

Statistiche sulla sicurezza stradale

Un'affermazione famosa dice che la maggior parte degli incidenti avviene vicino a casa, quindi guidare vicino a casa è pericoloso. Ignora il tasso di base: quanto si guida vicino a casa.

Esempio:

Se l'85 % di tutti i chilometri viene percorso vicino a casa, ci aspettiamo lì circa l'85 % degli incidenti, anche se il rischio fosse uguale ovunque.

3Provaci tu stesso

In una regione, 700 incidenti su 1000 avvengono a meno di 10 km da casa, e l'85 % di tutta la guida si svolge a meno di 10 km da casa.

I dati mostrano che guidare vicino a casa è più pericoloso?

Passo 1: Scrivi l'espressione matematica

Scrivi il numero di incidenti attesi vicino a casa se il rischio fosse uguale ovunque:

Punti chiave

1Una fallacia è un errore di ragionamento: la conclusione non segue dalle premesse
2L'affermazione del conseguente ( $p \to q$ , $q$ , quindi $p$ ) e la negazione dell'antecedente ( $p \to q$ , $\neg p$ , quindi $\neg q$ ) sono forme non valide
3Il modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , quindi $q$ ) e il modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , quindi $\neg p$ ) sono le forme valide
4Tra le fallacie informali ci sono l'argomento ad hominem, l'argomento fantoccio, il falso dilemma, la generalizzazione affrettata, il ragionamento circolare, la china pericolosa e l'appello all'autorità
5Correlazione non è causalità: cerca un terzo fattore e confronta tassi, non totali
6Gli esempi non dimostrano mai una regola generale, ma un solo controesempio la confuta

Domande frequenti

Se un'argomentazione contiene una fallacia, la sua conclusione è falsa?

Non per forza. La fallacia mostra che l'argomentazione non dimostra la conclusione. Questa può comunque essere vera per altri motivi, quindi ti serve un controesempio per mostrare che è falsa.

Qual è la differenza tra una fallacia formale e una informale?

Una fallacia formale è sbagliata per la sua struttura, qualunque sia l'argomento: l'affermazione del conseguente non è valida con i numeri, con il meteo o con qualsiasi altra cosa. Una fallacia informale è sbagliata per il suo contenuto, come una possibilità dimenticata o un attacco a una persona.

Quanti casi devo verificare per dimostrare una regola?

Nessun numero di casi basta per una regola su infiniti numeri.

2^n - 1

è primo per i numeri primi

n = 2, 3, 5, 7

e fallisce lo stesso per

n = 11

. Gli esempi ti aiutano a intuire, una dimostrazione rende la regola certa.

Come distinguo la correlazione dalla causalità?

Fatti tre domande: un terzo fattore potrebbe causare entrambe le cose? La causa potrebbe andare nel verso opposto? C'è stato un esperimento controllato? Senza un confronto equo, una correlazione mostra solo che due cose avvengono insieme.

Glossario

Fallacia: Un errore di ragionamento per cui un'argomentazione non dimostra la sua conclusione
Fallacia formale: Un errore nella forma di un'argomentazione, come l'affermazione del conseguente
Fallacia informale: Un errore nel contenuto di un'argomentazione, come un argomento fantoccio o un falso dilemma
Affermazione del conseguente: La forma non valida $p \to q$ , $q$ , quindi $p$
Negazione dell'antecedente: La forma non valida $p \to q$ , $\neg p$ , quindi $\neg q$
Variabile confondente: Un terzo fattore nascosto che influisce su due cose e le fa sembrare collegate

Scheda formule

Modus ponens (valido)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

L'ipotesi è data, quindi la conclusione segue

Modus tollens (valido)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

La conclusione è falsa, quindi l'ipotesi è falsa

Affermazione del conseguente (non valida)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

L'errore dell'inversa: $q$ può essere vera mentre $p$ è falsa

Negazione dell'antecedente (non valida)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

L'errore della contraria: $q$ può essere vera mentre $p$ è falsa

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Per gli insegnanti

Per studenti in difficoltà:

Per studenti a livello:

Per studenti avanzati:

Contenuto della lezione

Definizione

Esempi svolti

Errori comuni

Perché è importante

Applicazioni nel mondo reale

Promesse pubblicitarie

Titoli di giornale e totali

Statistiche sulla sicurezza stradale

Punti chiave

Domande frequenti

Glossario

Scheda formule

Modus ponens (valido)

Modus tollens (valido)

Affermazione del conseguente (non valida)

Negazione dell'antecedente (non valida)

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