Docentenhandleiding: Delen in wetenschappelijke notatie

Deel getallen in wetenschappelijke notatie: deel de coëfficiënten, trek de exponenten af en normaliseer de uitkomst zodat de coëfficiënt tussen 1 en 10 ligt.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Wetenschappelijke Notatie. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Twee getallen in wetenschappelijke notatie delen door de coëfficiënten te delen en de exponenten af te trekken
Een quotiënt normaliseren waarvan de coëfficiënt kleiner dan 1 is
De rekenregel voor machten juist toepassen als een of beide exponenten negatief zijn
Een coëfficiënt die nooit ophoudt afronden op een gegeven aantal significante cijfers
Echte problemen (reistijd van licht, bevolkingsdichtheid, bedrag per inwoner) oplossen door te delen in wetenschappelijke notatie

Vereisten

• Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven en terugzetten naar de gewone notatie
• Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie (coëfficiënten vermenigvuldigen, exponenten optellen)
• De rekenregel voor het delen van machten: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
• Negatieve gehele getallen aftrekken, bijvoorbeeld $-4 - (-7) = 3$

Discussiestarters

1. Als je twee getallen deelt waarvan de coëfficiënten tussen 1 en 10 liggen, wat is dan de grootste en de kleinste coëfficiënt die eruit kan komen? Waarom?
2. Zonlicht is ongeveer 8 minuten oud. Wat zou dat betekenen als de zon plotseling uitging?
3. Waarom wordt de uitkomst groter als je deelt door een getal met een negatieve exponent?
4. Een krantenkop noemt een schuld van 2,4 biljoen. Waarom zegt een bedrag per inwoner soms meer?

Veelvoorkomende misvattingen

De exponenten net als de coëfficiënten behandelen en ze delen ( $10^8 \div 10^2 = 10^4$ )

Herstel: Werk een klein geval uit: schrijf $10^5 \div 10^2$ als breuk van factoren 10 en streep weg. Leerlingen zien dat er drie factoren 10 overblijven, dus de exponenten worden afgetrokken. Controleer daarna met de rekenmachine: $10^5 \div 10^2 = 1000$ .

Denken dat $0{,}4 \times 10^3$ al een eindantwoord in wetenschappelijke notatie is

Herstel: Houd de regel $1 \le a < 10$ zichtbaar op het bord en maak het controleren van de coëfficiënt een vaste laatste stap. Laat leerlingen $0{,}4 \times 10^3$ en $4 \times 10^2$ in de gewone notatie vergelijken om te zien dat ze gelijk zijn.

Geloven dat de uitkomst van een deling altijd kleiner is dan het getal dat je deelt

Herstel: Laat $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3$ zien. Delen door een getal kleiner dan 1 maakt de uitkomst groter, net als $6 \div 0{,}5 = 12$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Begin met coëfficiënten die precies deelbaar zijn en alleen positieve exponenten, bijvoorbeeld $(8 \times 10^6) \div (2 \times 10^2)$
• Gebruik een tabel met twee kolommen: links de coëfficiënten, rechts de machten van tien
• Laat $-4 - (-7)$ eerst op de getallenlijn zien als $-4 + 7$ voordat je het als exponent gebruikt

Voor leerlingen op niveau:

• Meng sommen die genormaliseerd moeten worden met sommen waarbij dat niet hoeft
• Gebruik negatieve exponenten in de deler, in het deeltal of in allebei
• Los contextopgaven op over de reistijd van licht en de bevolkingsdichtheid

Voor gevorderde leerlingen:

• Rond quotiënten die nooit ophouden af op een gegeven aantal significante cijfers en bespreek nauwkeurigheid
• Combineer bewerkingen: $\frac{(3 \times 10^5)(4 \times 10^{-2})}{6 \times 10^7}$
• Zoek echte gegevens op (afstand tot Mars, bbp van een land) en schat de quotiënten voordat je rekent

Standaarduitlijning

8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Rekenen met getallen in wetenschappelijke notatie, ook in opgaven waarin de gewone decimale notatie en de wetenschappelijke notatie samen voorkomen
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Getallen van de vorm één cijfer keer een gehele macht van 10 gebruiken om zeer grote of zeer kleine hoeveelheden te schatten en te vergelijken
8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
De eigenschappen van gehele exponenten kennen en toepassen om gelijkwaardige getalexpressies te maken

Lesbronnen

visualDeler voor wetenschappelijke notatie
Interactieve tool die stap voor stap de coëfficiënten deelt, de exponenten aftrekt en normaliseert, met schuifbalken voor nieuwe getallen
activityHoeveel per persoon?
Leerlingen zoeken een landelijk cijfer op (begroting, energie- of waterverbruik) en het aantal inwoners, en delen in wetenschappelijke notatie
worksheetNormaliseren of niet?
Twintig quotiënten: leerlingen beslissen of de uitkomst genormaliseerd moet worden en verbeteren de exponent

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om getallen in wetenschappelijke notatie te delen, splits je de som in twee eenvoudige delen: je deelt de coëfficiënten en je deelt de machten van tien door de exponenten af te trekken (rekenregel

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Controleer daarna de coëfficiënt. In wetenschappelijke notatie moet

1 \le a < 10

gelden. Bij delen kan de nieuwe coëfficiënt kleiner dan 1 worden, en dan moet je hem normaliseren: schuif de komma één plaats naar rechts (coëfficiënt keer

10

) en trek

1

af van de exponent.

\frac{1{,}2 \times 10^5}{3 \times 10^2} = 0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2

Let op nog twee dingen:

Negatieve exponenten: een negatief getal aftrekken is optellen, dus $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ .
Quotiënten die nooit ophouden: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ , dus je rondt de coëfficiënt af, bijvoorbeeld op $3$ significante cijfers: $2{,}33$ .

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken

(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)

Deel de coëfficiënten

8 \div 2 = 4

Trek de exponenten af (rekenregel voor machten)

10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6

Zet alles samen en controleer de coëfficiënt

4 \times 10^6

, en

1 \le 4 < 10

→ Al genormaliseerd

Antwoord: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Veelgemaakte fouten

De exponenten delen: $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Waarom het fout is: De exponent telt hoeveel factoren 10 met elkaar vermenigvuldigd worden. Bij delen vallen factoren 10 tegen elkaar weg, dus je trekt de exponent af, je deelt hem niet.

Correct: Aftrekken: $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (acht factoren 10 gedeeld door twee factoren 10 laat er zes over).

In de verkeerde volgorde aftrekken: $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Waarom het fout is: Bij delen doet de volgorde ertoe. De exponent van het getal waar je DOOR deelt, gaat van de bovenste exponent af.

Correct: Altijd boven min onder: $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$ , een klein getal, zoals je verwacht als je door iets groters deelt.

In de verkeerde richting normaliseren: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Waarom het fout is: Als de coëfficiënt 10 keer zo groot wordt, moet de macht van tien 10 keer zo klein worden, anders verandert de waarde van $400$ in $40\,000$ .

Correct: Coëfficiënt één plaats omhoog, exponent één omlaag: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ . Controle: allebei $400$ .

Een teken kwijtraken bij negatieve exponenten: $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Waarom het fout is: Het tweede minteken is weggevallen. $-3$ aftrekken is hetzelfde als $3$ optellen.

Correct: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$ . Delen door een piepklein getal geeft een grote uitkomst.

Waarom het belangrijk is

Delen beantwoordt vragen als "hoe lang?", "hoeveel per ...?" en "hoeveel voor ieder?". In de wetenschap en in het nieuws zijn de getallen in zulke vragen vaak enorm groot of piepklein:

Licht van de zon: de zon staat ongeveer $1{,}5 \times 10^{11}$ m van ons af en licht legt elke seconde $3 \times 10^8$ m af. Door te delen zie je dat zonlicht ongeveer $500$ seconden oud is als het bij je aankomt.
Bevolkingsdichtheid: het aantal inwoners van een land gedeeld door de oppervlakte geeft het aantal inwoners per km², het getal waarmee geografen landen vergelijken.
Bedrag per inwoner: een rijksbegroting of staatsschuld gedeeld door het aantal inwoners laat zien wat dat voor één persoon betekent.
Biologie en scheikunde: de massa van een waterdruppel gedeeld door de massa van één molecuul vertelt hoeveel moleculen erin zitten (ongeveer $10^{21}$ ).

Als je deze getallen voluit schrijft, moet je lange rijen nullen tellen. In wetenschappelijke notatie deel je twee kleine getallen, trek je twee exponenten af en ben je klaar.

Toepassingen in de echte wereld

Sterrenkunde: reistijd van licht

Sterrenkundigen delen een afstand door de lichtsnelheid om te weten hoe lang het licht al onderweg is. Daarom zien we de zon zoals hij een paar minuten geleden was en verre sterren zoals ze jaren geleden waren.

Voorbeeld:

De maan staat ongeveer $3{,}84 \times 10^8$ m van ons af. Licht doet er $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ seconden over om er te komen.

1Probeer het zelf

De zon staat ongeveer $1{,}5 \times 10^{11}$ m van de aarde, en licht legt $3 \times 10^8$ m per seconde af.

Hoeveel seconden doet licht erover om van de zon naar de aarde te komen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tijd = afstand ÷ snelheid:

Aardrijkskunde: bevolkingsdichtheid

Bevolkingsdichtheid is het aantal inwoners gedeeld door de oppervlakte. Het laat zien hoe vol een land of stad is, en zo vergelijken planologen plaatsen van heel verschillende grootte.

Voorbeeld:

Duitsland heeft ongeveer $8{,}4 \times 10^7$ inwoners op ongeveer $3{,}5 \times 10^5$ km². Dichtheid: $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$ , ongeveer $240$ inwoners per km².

2Probeer het zelf

Een grote stad heeft $3{,}6 \times 10^6$ inwoners op $9 \times 10^2$ km².

Hoeveel mensen wonen er op één vierkante kilometer?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Dichtheid = inwoners ÷ oppervlakte:

Economie: bedrag per inwoner

In het nieuws staan landelijke cijfers (begrotingen, schulden, totale uitgaven) in miljarden of biljoenen. Als je ze deelt door het aantal inwoners, krijg je een bedrag per persoon dat je je goed kunt voorstellen.

Voorbeeld:

Een land met $4 \times 10^7$ inwoners geeft per jaar $1{,}2 \times 10^{11}$ € uit aan voedsel: $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$ , dus ongeveer 3000 € per persoon.

3Probeer het zelf

De staatsschuld van een land is $2{,}4 \times 10^{12}$ €, en er wonen $3 \times 10^8$ mensen.

Hoe groot is het deel van de schuld per persoon, in euro?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel = schuld ÷ inwoners:

Belangrijke punten

1Deel de coëfficiënten en de machten van tien apart: $\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$
2Rekenregel voor machten: trek de exponenten af, altijd boven min onder ( $10^3 \div 10^7 = 10^{-4}$ )
3Is de nieuwe coëfficiënt kleiner dan 1, normaliseer dan: komma één plaats naar rechts, exponent min 1 ( $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$ )
4Een negatieve exponent aftrekken is optellen: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{3}$
5Komt de deling van de coëfficiënten niet precies uit, rond de coëfficiënt dan af (bijvoorbeeld op 3 significante cijfers) en schrijf $\approx$
6Delen beantwoordt vragen over "hoe lang", "hoeveel per" en "hoeveel voor ieder": reistijd van licht, bevolkingsdichtheid, bedrag per inwoner

Veelgestelde vragen

Kan de coëfficiënt bij delen groter dan 10 worden?

Nee. Beide coëfficiënten liggen tussen 1 en 10, dus hun quotiënt is altijd groter dan

0{,}1

en kleiner dan

10

. Daarom hoef je bij delen maar in één richting te normaliseren: een coëfficiënt onder 1 schuift één plaats naar rechts en de exponent gaat 1 omlaag.

Waarom trekken we de exponenten af?

Omdat

10^m

betekent dat

m

factoren 10 vermenigvuldigd worden. Delen door

10^n

laat

n

van die factoren wegvallen:

\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3

. Dat is de rekenregel

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Wat als beide getallen dezelfde exponent hebben?

Dan vallen de machten weg tot

10^0 = 1

en tellen alleen de coëfficiënten:

(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3

Hoeveel significante cijfers moet ik houden?

Meestal evenveel als het minst nauwkeurige getal in de opgave. Hebben de gegevens 2 of 3 significante cijfers, rond de coëfficiënt dan ook af op 2 of 3. Meer cijfers dan de gegevens hebben, suggereert een nauwkeurigheid die er niet is.

Woordenlijst

Coëfficiënt: Het getal $a$ in $a \times 10^n$ ; in wetenschappelijke notatie $1 \le a < 10$
Quotiënt: De uitkomst van een deling, bijvoorbeeld $4 \times 10^2$ bij $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$
Rekenregel voor het delen van machten: Machten met hetzelfde grondtal deel je door de exponenten af te trekken: $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$
Normaliseren: Een uitkomst herschrijven zodat de coëfficiënt tussen 1 en 10 ligt zonder de waarde te veranderen, bijvoorbeeld $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$
Significante cijfers: De cijfers van een getal die iets zeggen over de nauwkeurigheid; $2{,}33$ heeft 3 significante cijfers

Formulekaart

Delen in wetenschappelijke notatie

\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}

Deel de coëfficiënten en trek de exponenten af (boven min onder).

Rekenregel voor het delen van machten

10^m \div 10^n = 10^{m-n}

Geldt ook voor negatieve exponenten: $10^{-4} \div 10^{-7} = 10^{-4+7} = 10^3$.

Een kleine coëfficiënt normaliseren

c \times 10^k = (10c) \times 10^{k-1}

Gebruik dit als de coëfficiënt $c$ kleiner dan 1 is: $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$.

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Delen in wetenschappelijke notatie

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Sterrenkunde: reistijd van licht

Aardrijkskunde: bevolkingsdichtheid

Economie: bedrag per inwoner

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Delen in wetenschappelijke notatie

Rekenregel voor het delen van machten

Een kleine coëfficiënt normaliseren

Meer over dit onderwerp

Wetenschappelijke notatie

Getallen in wetenschappelijke notatie schrijven

Van wetenschappelijke notatie naar gewone notatie

Getallen in wetenschappelijke notatie vergelijken