Terug naar les

Docentenhandleiding: Procentuele fout

Leer meten hoe ver een meting of schatting van de werkelijke waarde af ligt, uitgedrukt als procent van de werkelijke waarde.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Procenten. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • De absolute fout tussen een gemeten en een werkelijke waarde berekenen
  • De procentuele fout berekenen door de absolute fout te delen door de werkelijke waarde en te vermenigvuldigen met 100
  • Uitleggen waarom de procentuele fout deelt door de werkelijke waarde en de absolute waarde gebruikt
  • Een procentuele fout goed afronden en het aantal decimalen vermelden
  • Met de procentuele fout practicumresultaten, schattingen en meetinstrumenten beoordelen, ook bij fouten boven 100%
Vereisten
  • • Inleiding tot procenten (decimale getallen omzetten in procenten)
  • • Het percentage van een getal berekenen
  • • Procentuele toename en afname (procentuele verandering)
  • • Absolute waarde van een getal
  • • Decimale getallen afronden
Discussiestarters
  • 1. Twee leerlingen zitten er allebei 2 cm naast: de een mat een potlood, de ander een deur. Wie maakte de grootste fout? Waarom?
  • 2. Waarom delen we door de werkelijke waarde en niet door de gemeten waarde?
  • 3. Is een fout van 3% goed of slecht? Waar hangt dat van af?
  • 4. Kan een schatting er meer dan 100% naast zitten? En als de schatting te laag is?
  • 5. De procentuele verandering houdt het minteken, de procentuele fout niet. Waarom gaan de twee formules anders om met het teken?
Veelvoorkomende misvattingen

De procentuele fout en de absolute fout zijn hetzelfde

Herstel: Vergelijk een fout van 2 cm bij een potlood van 10 cm (20%) met een fout van 2 cm bij een deur van 200 cm (1%). Dezelfde absolute fout, een heel andere procentuele fout. Laat het staafdiagram met de drie voorwerpen zien.

Het maakt niet uit of je deelt door de gemeten of door de werkelijke waarde

Herstel: Gebruik het concertvoorbeeld: schatting 300, werkelijk 120. Delen door 120 geeft 150%, delen door 300 geeft 60%. Vraag welk getal de fout eerlijk beschrijft: het referentiepunt moet de ware waarde zijn.

Een procentuele fout kan nooit groter zijn dan 100%

Herstel: Leerlingen verwarren hem met een procentuele afname, die bij 100% stopt. Laat zien dat een overschatting willekeurig groot kan zijn: 50 schatten als het antwoord 20 is geeft 150%. Alleen een onderschatting blijft op 100% of lager.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Begin met werkelijke waarden als 10, 100 of 1000, zodat het delen makkelijk is
  • • Gebruik een stappenlijst van drie stappen: aftrekken en het teken weglaten, delen door de werkelijke waarde, vermenigvuldigen met 100
  • • Zet beide waarden op een getallenlijn en meet de afstand voordat je gaat rekenen

Voor leerlingen op niveau:

  • • Procentuele fouten berekenen uit echte practicumgegevens met decimalen en afronden op twee decimalen
  • • De procentuele fouten van meerdere schattingen in een schatwedstrijd vergelijken
  • • In woorden uitleggen waarom dezelfde absolute fout verschillende procentuele fouten kan geven

Voor gevorderde leerlingen:

  • • Terugrekenen: uit de werkelijke waarde en de procentuele fout beide mogelijke gemeten waarden vinden
  • • Onderzoeken waarom een onderschatting nooit een procentuele fout boven 100% kan hebben
  • • De toegestane tolerantie van een echt meetinstrument opzoeken en beslissen of een uitkomst daarbinnen valt
Standaarduitlijning
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Met evenredige verbanden meerstapsopgaven over verhoudingen en procenten oplossen, waaronder de procentuele fout

  • 7.NS.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.3)

    Praktische en wiskundige problemen oplossen met de vier hoofdbewerkingen op rationale getallen

  • HSN.Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)

    Een nauwkeurigheid kiezen die past bij de grenzen van de meting bij het weergeven van grootheden

Lesbronnen
  • visualDe fout op de getallenlijn

    Toont de gemeten waarde, de werkelijke waarde en de afstand ertussen (de absolute fout)

  • activitySchatpot

    Leerlingen schatten hoeveel voorwerpen er in een pot zitten en berekenen en rangschikken daarna hun procentuele fouten

  • activitySlingerpracticum

    Leerlingen meten de slingertijd, berekenen g en vergelijken die met 9,81 m/s² via de procentuele fout

  • worksheetOefenen met de procentuele fout

    Opgaven over practicum, schatten en kwaliteitscontrole, met afronden en fouten boven 100%

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De procentuele fout geeft aan hoe ver een gemeten of geschatte waarde van de werkelijke waarde af ligt, uitgedrukt als procent van de werkelijke waarde.
Procentuele fout=∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣werkelijke waarde×100%\text{Procentuele fout} = \frac{|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|}{\text{werkelijke waarde}} \times 100\%
De berekening heeft drie delen:
  1. 1.Absolute fout: de afstand tussen de twee waarden, ∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|. De absolutewaardestrepen maken hem positief, want alleen de grootte van de fout telt.
  2. 2.Delen door de werkelijke waarde: zo vergelijk je de fout met de echte grootte van wat je hebt gemeten.
  3. 3.Vermenigvuldigen met 100: zo wordt het decimale getal een percentage.
Voorbeeld: Je schat dat er 450 snoepjes in een pot zitten, maar er zitten er echt 500 in.
∣450−500∣500×100%=50500×100%=10%\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\% = \frac{50}{500} \times 100\% = 10\%
De werkelijke waarde heet ook geaccepteerde waarde, ware waarde of theoretische waarde. De gemeten waarde heet ook experimentele waarde of geschatte waarde.
Bij Procentuele toename en afname deelde je door de oorspronkelijke waarde en hield je het teken (+ voor groei, −- voor een daling). De procentuele fout lijkt daarop, maar deelt altijd door de werkelijke waarde en is nooit negatief: hij beantwoordt alleen de vraag "hoe groot was de fout?"

Uitgewerkte voorbeelden

Op het schoolfeest schat je dat er 450 snoepjes in een pot zitten. Er zitten er echt 500 in. Wat is je procentuele fout?

1

Bereken de absolute fout

∣450−500∣=∣−50∣=50|450 - 500| = |-50| = 50 → Absolute fout = 50 snoepjes

2

Deel door de werkelijke waarde

50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1

3

Vermenigvuldig met 100

0,1×100%=10%0{,}1 \times 100\% = 10\%

Veelgemaakte fouten

Delen door de gemeten waarde in plaats van door de werkelijke waarde: ∣9,6−9,81∣9,6\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}

Waarom het fout is: De procentuele fout vergelijkt je fout met de ECHTE grootte. De gemeten waarde is juist de waarde die fout kan zijn, dus die kan niet het referentiepunt zijn.

Correct: Deel altijd door de werkelijke (geaccepteerde) waarde: ∣9,6−9,81∣9,81×100%≈2,14%\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\% \approx 2{,}14\%

De absolute waarde vergeten en een negatieve procentuele fout opschrijven, zoals −10%-10\%

Waarom het fout is: De procentuele fout meet de grootte van de fout, niet de richting. 50 te weinig is een even grote fout als 50 te veel.

Correct: Gebruik ∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|. Bij een schatting van 450 en een werkelijke waarde van 500: ∣450−500∣=50|450 - 500| = 50, procentuele fout 10%10\%.

Vergeten met 100 te vermenigvuldigen en 0,10{,}1 als procentuele fout geven

Waarom het fout is: 50500=0,1\frac{50}{500} = 0{,}1 is een decimaal getal, geen percentage. 0,1%0{,}1\% zou een 100 keer kleinere fout betekenen.

Correct: Vermenigvuldig met 100: 0,1×100%=10%0{,}1 \times 100\% = 10\%.

Te vroeg afronden, of niet zeggen op hoeveel decimalen je hebt afgerond

Waarom het fout is: Als je 0,219,81\frac{0{,}21}{9{,}81} eerst afrondt op 0,020{,}02, krijg je 2%2\% in plaats van 2,14%2{,}14\%. En een antwoord als 2,1%2{,}1\% zonder afrondingsregel kan niemand controleren.

Correct: Houd alle cijfers tot de laatste stap, rond dan één keer af en zeg hoe: "2,14%2{,}14\%, afgerond op twee decimalen".

Waarom het belangrijk is

Elke meting heeft een kleine fout, en de procentuele fout vertelt je of die fout klein of ernstig is:
  • Practicum natuurkunde en scheikunde: Je meet de valversnelling als 9,6 m/s29{,}6\ \text{m/s}^2, maar de geaccepteerde waarde is 9,81 m/s29{,}81\ \text{m/s}^2. Is je proef goed? De procentuele fout zegt dat hij er ongeveer 2% naast zit.
  • Schatten: Schatwedstrijden, het aantal mensen in een menigte en planningen van projecten kun je beoordelen met de procentuele fout.
  • Kwaliteitscontrole: Fabrieken controleren of weegschalen, linialen en machines binnen een vaste procentuele fout blijven, bijvoorbeeld 1%.
  • Medicijnen en koken: Een kleine dosis of een snufje zout vraagt een veel nauwkeurigere meting dan een grote hoeveelheid.
Dezelfde absolute fout kan piepklein of enorm zijn: 2 cm ernaast bij een deur is prima, maar 2 cm ernaast bij een potlood is een grote fout. De procentuele fout maakt die vergelijking eerlijk.

Toepassingen in de echte wereld

Practicum: dichtheid van aluminium

Wetenschappers beoordelen een proef door hun uitkomst te vergelijken met de geaccepteerde waarde. Een procentuele fout onder ongeveer 5% is op school meestal een goed practicumresultaat.

Voorbeeld:

Een klas meet de geluidssnelheid als 330 m/s330\ \text{m/s}. De geaccepteerde waarde is 343 m/s343\ \text{m/s}, dus de procentuele fout is 13343×100%≈3,79%\frac{13}{343} \times 100\% \approx 3{,}79\%.

1Probeer het zelf

Je meet de dichtheid van een blokje aluminium als 2,646 g/cm32{,}646\ \text{g/cm}^3. De geaccepteerde dichtheid van aluminium is 2,70 g/cm32{,}70\ \text{g/cm}^3.

Wat is de procentuele fout van je meting?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening of de uitkomst (in %):

Schatwedstrijden

Raadspelletjes, het tellen van publiek en planningen zijn allemaal schattingen. De procentuele fout laat zien hoe goed een schatting was, hoe groot de getallen ook zijn.

Voorbeeld:

Als je 90 snoepjes schat en het zijn er 100, dan is je procentuele fout 10100×100%=10%\frac{10}{100} \times 100\% = 10\%.

2Probeer het zelf

In een grote pot op de kermis zitten 1250 knikkers. Jij schat 1000 knikkers.

Wat is je procentuele fout?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening of de uitkomst (in %):

Een keukenweegschaal controleren

Winkels, apotheken en fabrieken controleren hun weegschalen met ijkgewichten waarvan de massa precies bekend is. De procentuele fout vertelt of de weegschaal nog gebruikt mag worden.

Voorbeeld:

Een apothekersweegschaal geeft 101 g aan voor een ijkgewicht van 100 g: de procentuele fout is 1100×100%=1%\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%.

3Probeer het zelf

Je legt een ijkgewicht van precies 500 g op een keukenweegschaal. De weegschaal geeft 508 g aan.

Wat is de procentuele fout van de weegschaal?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de berekening of de uitkomst (in %):

Belangrijke punten

  • 1Procentuele fout =∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣werkelijke waarde×100%= \frac{|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|}{\text{werkelijke waarde}} \times 100\%
  • 2De absolute fout ∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}| is de grootte van de fout in de oorspronkelijke eenheid; de procentuele fout vergelijkt die met de werkelijke waarde
  • 3Deel altijd door de werkelijke (geaccepteerde) waarde, nooit door de gemeten waarde
  • 4De procentuele fout is nooit negatief: evenveel te hoog of te laag geeft dezelfde procentuele fout
  • 5Houd alle cijfers tot het eind, rond dan één keer af en zeg op hoeveel decimalen
  • 6De procentuele fout kan boven 100% komen als een schatting meer dan twee keer zo groot is als de werkelijke waarde

Veelgestelde vragen

Kan de procentuele fout negatief zijn?

Niet met de formule uit deze les: de absolute waarde maakt hem nul of positief. Sommige natuurkundedocenten laten de absolute waarde weg om te laten zien of een uitkomst te hoog (+) of te laag (−-) was. Bij een procentuele fout met teken blijft de grootte gelijk, alleen de richting komt erbij.

Kan de procentuele fout meer dan 100% zijn?

Ja. Als de werkelijke waarde 20 is en je schat 50, dan is de absolute fout 30, en 3020×100%=150%\frac{30}{20} \times 100\% = 150\%. Elke schatting die meer dan twee keer zo groot is als de werkelijke waarde geeft een procentuele fout boven 100%.

Wat is een goede procentuele fout?

Dat hangt van de taak af. Bij een schoolpracticum is onder 5% meestal goed en onder 1% uitstekend. Bij een schatspel is binnen 10% geweldig, terwijl een dosis medicijn of een precisiemachine onder 0,1% moet blijven.

Wat is het verschil tussen procentuele fout en procentuele verandering?

De procentuele verandering vergelijkt een nieuwe waarde met de oorspronkelijke waarde en houdt het teken: +25%+25\% is groei, −15%-15\% een daling. De procentuele fout vergelijkt een meting met de werkelijke waarde en gebruikt de absolute waarde, dus hij is nooit negatief. Bij allebei deel je door de referentiewaarde en vermenigvuldig je met 100.

Woordenlijst

Gemeten waarde
De waarde die je uit een meting, een proef of een schatting krijgt (ook experimentele of geschatte waarde genoemd)
Werkelijke waarde
De ware of geaccepteerde waarde waarmee de meting wordt vergeleken (ook geaccepteerde, ware of theoretische waarde genoemd)
Absolute fout
De afstand tussen de gemeten en de werkelijke waarde, ∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|, in de oorspronkelijke eenheid
Procentuele fout
De absolute fout gedeeld door de werkelijke waarde, keer 100%
Absolute waarde
De afstand van een getal tot nul, altijd nul of positief: ∣−3∣=3|-3| = 3

Formulekaart

Procentuele fout

Procentuele fout=∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣werkelijke waarde×100%\text{Procentuele fout} = \frac{|\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|}{\text{werkelijke waarde}} \times 100\%

Hoe groot de fout is, als procent van de werkelijke waarde

Absolute fout

Absolute fout=∣gemeten waarde−werkelijke waarde∣\text{Absolute fout} = |\text{gemeten waarde} - \text{werkelijke waarde}|

De grootte van de fout in de oorspronkelijke eenheid (cm, g, mensen)

Terugrekenen

gemeten waarde=werkelijke waarde±werkelijke waarde×procentuele fout100\text{gemeten waarde} = \text{werkelijke waarde} \pm \text{werkelijke waarde} \times \frac{\text{procentuele fout}}{100}

Gebruik + als de meting te hoog was en $-$ als die te laag was

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot procenten

Gemiddeld25 min

Het percentage van een getal berekenen

Gemiddeld25 min

Procentuele toename en afname

Gemiddeld25 min

Procenten met een evenredigheid

Gemiddeld25 min