Terug naar les

Docentenhandleiding: Patronen herkennen

Leer de regel achter getallen- en vormpatronen te vinden, hem bij elke term te controleren en te voorspellen wat er daarna komt.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logisch redeneren. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen
  • De regel herkennen van optel-, aftrek-, vermenigvuldig-, afwisselende en groeiende getallenpatronen
  • Een patroon voortzetten door de volgende termen te voorspellen
  • De 10e term van een optelpatroon vinden zonder alle termen op te schrijven
  • Controleren of een voorgestelde regel voor elke term van een patroon werkt
  • Patronen toepassen op kalenders, tegelontwerpen en geld sparen
Vereisten
  • • Introductie tot logisch redeneren: het verschil tussen inductief en deductief redeneren
  • • Deductief redeneren: een algemene regel toepassen op een bepaald geval
  • • Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met hele getallen
  • • Delen met rest
Discussiestarters
  • 1. Waar zie jij patronen op een dag, thuis of op school?
  • 2. Als iemand 2, 4, ... zegt en naar het volgende getal vraagt, hoeveel verschillende antwoorden kunnen er dan goed zijn?
  • 3. Waarom is het niet genoeg om een regel alleen bij de eerste twee termen te controleren?
  • 4. Hoe zou je de 100e term van 3, 7, 11, 15 kunnen vinden zonder alle termen op te schrijven?
  • 5. Kun je een patroon bedenken dat moeilijk te raden is voor een vriend of vriendin? Wat maakt het moeilijk?
Veelvoorkomende misvattingen

Elk getallenpatroon is een optelpatroon

Herstel: Laat 3,6,12,243, 6, 12, 24 naast 3,6,9,123, 6, 9, 12 zien. Laat leerlingen bij beide de verschillen uitrekenen en ontdekken dat alleen de tweede gelijke verschillen heeft.

De n-de term is de eerste term plus n stappen

Herstel: Gebruik een ladder of een rij stoelen: van stoel 1 naar stoel 10 zijn het 9 stappen. Controleer de methode bij een term die je al kent, zoals de 3e term.

Een regel die bij de eerste twee termen past, is bewezen

Herstel: Speel Raad mijn regel met 1, 2, ... en laat daarna 4 (verdubbelen) of 3 (plus 1) zien. Leerlingen leren om meer termen te vragen en elk paar te testen.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

  • • Begin alleen met optelpatronen en schrijf de verschillen in een andere kleur
  • • Bouw elke figuur van een tegelpatroon na met fiches of tegels
  • • Geef de regel en vraag eerst alleen naar de volgende term voordat je naar de regel vraagt

Voor leerlingen op niveau:

  • • Optel-, vermenigvuldig- en afwisselende patronen mengen op één werkblad
  • • De 10e term van optelpatronen vinden en controleren bij een bekende term
  • • Kalender- en spaarproblemen met patronen oplossen

Voor gevorderde leerlingen:

  • • De 50e of 100e term van een optelpatroon vinden
  • • Werken met patronen waarvan de verschillen groeien, zoals kwadraten 1,4,9,161, 4, 9, 16
  • • Eigen patroonpuzzels met een verborgen regel bedenken voor klasgenoten
Standaarduitlijning
  • 4.OA.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.C.5)

    Een getallen- of vormpatroon maken dat een gegeven regel volgt en kenmerken van het patroon herkennen die niet expliciet in de regel staan

  • 5.OA.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.5.OA.B.3)

    Twee getallenpatronen maken met twee gegeven regels en verbanden herkennen tussen overeenkomende termen

  • MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)

    Structuren zoeken en gebruiken

  • MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)

    Regelmaat zoeken en uitdrukken in herhaalde redeneringen

Lesbronnen
  • visualRijen-visualisatie

    Verander de eerste term en de stap en kijk hoe de termen en staven groeien

  • activityRaad mijn regel

    Eén leerling kiest stiekem een regel en noemt de termen één voor één; de klas raadt de regel en test hem op de volgende term

  • worksheetPatroondetectives

    Gemengde patronen waarbij leerlingen de verschillen opschrijven, de regel benoemen en de 10e term vinden

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een patroon is een rij getallen of vormen die een regel volgt. Elk onderdeel van de rij heet een term.
Om een patroon te herkennen, kijk je hoe elke term verandert in de volgende:
  • Optelpatroon: er komt steeds hetzelfde getal bij. 5,9,13,175, 9, 13, 17 (plus 44)
  • Aftrekpatroon: er gaat steeds hetzelfde getal af. 30,25,20,1530, 25, 20, 15 (min 55)
  • Vermenigvuldigpatroon: elke term wordt met hetzelfde getal vermenigvuldigd. 3,6,12,243, 6, 12, 24 (keer 22)
  • Afwisselend patroon: twee stappen wisselen elkaar af. 10,13,11,14,1210, 13, 11, 14, 12 (plus 33, min 22)
  • Groeiend patroon: de stap zelf wordt groter. 1,2,4,7,111, 2, 4, 7, 11 (plus 11, dan 22, dan 33, dan 44)
  • Herhalend patroon: een blok komt steeds opnieuw terug, zoals cirkel, vierkant, driehoek, cirkel, vierkant, driehoek
Een regel telt alleen als hij voor elke term werkt, niet alleen voor de eerste twee. Een regel vinden uit voorbeelden heet inductief redeneren; hem bij alle termen controleren behoedt je voor fouten.

Uitgewerkte voorbeelden

Vind de regel en de volgende twee termen: 5,9,13,17,…5, 9, 13, 17, \ldots

1

Bepaal de verandering tussen buren

9−5=49 - 5 = 4, 13−9=413 - 9 = 4, 17−13=417 - 13 = 4 → Het verschil is altijd 44

2

Schrijf de regel op

Elke term is 44 meer dan de vorige → Regel: begin bij 55, tel 44 op

3

Gebruik de regel om verder te gaan

17+4=2117 + 4 = 21, 21+4=2521 + 4 = 25 → 2121 en 2525

Veelgemaakte fouten

Een regel kiezen na alleen de eerste twee termen te bekijken

Waarom het fout is: Bij 2,4,8,162, 4, 8, 16 is de eerste sprong +2+2, maar 4+2=64 + 2 = 6, niet 88. Er passen veel regels bij twee getallen.

Correct: Test de regel bij elk paar buren. Hier werkt ×2\times 2 voor allemaal: 2,4,8,162, 4, 8, 16.

1010 sprongen gebruiken om de 10e term te bereiken

Waarom het fout is: De eerste term staat er al. Van term 11 naar term 1010 zijn er maar 99 sprongen.

Correct: 10e term == eerste term +9×+ 9 \times stap. Voor 4,7,10,…4, 7, 10, \ldots: 4+9×3=314 + 9 \times 3 = 31, niet 4+10×3=344 + 10 \times 3 = 34.

Denken dat elk patroon steeds hetzelfde getal optelt

Waarom het fout is: Bij 2,6,18,542, 6, 18, 54 zijn de verschillen 4,12,364, 12, 36, dus het is geen optelpatroon.

Correct: Als de verschillen niet gelijk zijn, probeer dan vermenigvuldigen (hier ×3\times 3), afwisselende stappen of groeiende verschillen.

Vergeten waar je bent in een afwisselend patroon

Waarom het fout is: Bij 10,13,11,14,12,1510, 13, 11, 14, 12, 15 hangt de volgende stap af van de laatste. Nog een keer +3+3 geeft 1818, en dat is fout.

Correct: Schrijf de veranderingen onder de termen (+3,−2,+3,…+3, -2, +3, \ldots) en ga verder met de afwisseling: 15−2=1315 - 2 = 13.

Waarom het belangrijk is

Patronen zijn overal, en wie ze herkent, bespaart tijd:
  • Kalenders: elke maandag van een maand valt 77 dagen na de vorige, dus je vindt elke datum zonder dag voor dag te tellen
  • Tegels en bouwen: als elke nieuwe rij van een vloer 33 tegels meer nodig heeft, kun je uitrekenen hoeveel tegels je moet kopen
  • Geld sparen: als je elke week hetzelfde bedrag in je spaarpot stopt, kun je voorspellen wanneer je je doel bereikt
  • Muziek en kunst: ritmes en randversieringen zijn herhalende patronen
  • Wetenschap en computers: wetenschappers zoeken patronen in gegevens, en computers worden getraind om patronen in beelden en geluiden te herkennen
Patronen herkennen is de eerste stap van logisch denken: je ziet een regel, je test hem en daarna gebruik je hem om te voorspellen.

Toepassingen in de echte wereld

Kalenders

Dezelfde dag van de week komt elke $7$ dagen terug, dus de datums van die dag vormen een optelpatroon.

Voorbeeld:

Als de eerste maandag van een maand de 33e is, zijn de maandagen de 33e, 1010e, 1717e, 2424e en 3131e.

1Probeer het zelf

De eerste zaterdag van een maand is de 66e. Er is elke zaterdag zwemles.

Welke datum is de 4e zaterdag van de maand?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij 66 en tel 33 sprongen van 77 dagen op:

Tegels en patronen in de bouw

Tegelzetters en ontwerpers gebruiken tegelpatronen voor vloeren, paden en muren, en ze moeten weten hoeveel tegels elk deel nodig heeft.

Voorbeeld:

Een pad waarbij elk nieuw stuk 22 tegels meer krijgt, gebruikt 6,8,10,12,…6, 8, 10, 12, \ldots tegels. Zo kun je elk stuk voorspellen zonder het te tekenen.

2Probeer het zelf

Een tegelontwerp heeft 55 tegels in figuur 1, 88 tegels in figuur 2 en 1111 tegels in figuur 3.

Hoeveel tegels heeft figuur 6?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij 55 en tel 55 sprongen van 33 op:

Geld sparen

Wie elke week hetzelfde bedrag spaart, laat de inhoud van de spaarpot groeien volgens een optelpatroon.

Voorbeeld:

Met 10 € aan het begin en elke week 4 € erbij heb je na week 1 tot en met 4 in totaal 14 €, 18 €, 22 € en 26 €.

3Probeer het zelf

Nora heeft 15 € in haar spaarpot. Ze stopt er elke week 5 € in.

Hoeveel geld heeft ze na 8 weken?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij 1515 en tel 88 sprongen van 55 op:

Belangrijke punten

  • 1Een patroon volgt een regel, en elk onderdeel ervan heet een term
  • 2Kijk eerst naar de verschillen tussen buren: gelijke verschillen betekenen een optel- of aftrekpatroon
  • 3Als de verschillen niet gelijk zijn, probeer dan vermenigvuldigen, afwisselende stappen of groeiende verschillen
  • 4Een regel is alleen juist als hij voor elke term werkt, niet alleen voor de eerste twee
  • 5Voor de 10e term van een optelpatroon tel je 99 stappen op bij de eerste term
  • 6Bij een herhalend patroon deel je de plaats door de lengte van het blok en gebruik je de rest

Veelgestelde vragen

Hoe begin ik als ik een nieuw patroon zie?

Schrijf het verschil tussen elk paar buurtermen onder de rij. Zijn ze allemaal gelijk, dan heb je een optel- of aftrekpatroon. Zo niet, probeer dan vermenigvuldigen of zoek een patroon in de verschillen.

Kan een patroon meer dan één regel hebben?

Met maar twee of drie termen wel, dan kunnen er meerdere regels passen. Daarom heb je genoeg termen nodig en moet je je regel bij allemaal controleren. Bij 2,42, 4 kan de regel +2+2 of ×2\times 2 zijn, maar bij 2,4,82, 4, 8 past alleen ×2\times 2.

Waarom tel ik voor de 10e term 9 stappen op en niet 10?

De eerste term staat al op zijn plek. Om van term 11 naar term 1010 te gaan maak je 99 sprongen, net zoals je van de 1e naar de 10e sport van een ladder klimt.

Hoe vind ik de 20e vorm in een herhalend patroon?

Tel de vormen in één blok. Bij cirkel, vierkant, driehoek heeft het blok 33 vormen. 20÷3=620 \div 3 = 6 rest 22, dus de 20e vorm is de 2e vorm van het blok: een vierkant.

Woordenlijst

Patroon
Een rij getallen of vormen die een regel volgt
Term
Eén onderdeel van een patroon; de 1e term is het eerste onderdeel, de 2e term het volgende, enzovoort
Regel
De opdracht die zegt hoe je van de ene term naar de volgende komt, zoals plus 44 of keer 22
Verschil
De uitkomst als je een term aftrekt van de volgende term, bijvoorbeeld 9−5=49 - 5 = 4
Afwisselend patroon
Een patroon waarin twee verschillende stappen elkaar afwisselen, zoals +3+3, −2-2, +3+3, −2-2
Herhalend patroon
Een patroon waarin steeds hetzelfde blok terugkomt, zoals rood, blauw, rood, blauw

Formulekaart

Verschillen controleren

verschil=volgende term−term\text{verschil} = \text{volgende term} - \text{term}

Als alle verschillen gelijk zijn, telt het patroon dat getal op (of trekt het af)

10e term van een optelpatroon

10e term=1e term+9×stap\text{10e term} = \text{1e term} + 9 \times \text{stap}

Van de 1e naar de 10e term zijn er 9 sprongen

Plaats in een herhalend patroon

plaats÷bloklengte=… rest r\text{plaats} \div \text{bloklengte} = \ldots \text{ rest } r

De rest $r$ vertelt welk onderdeel van het blok het is; rest $0$ betekent het laatste onderdeel

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Gemiddeld25 min

Deductief redeneren

Gemiddeld25 min

Als-dan-beweringen

Gemiddeld25 min

Omgekeerde en inverse

Gemiddeld25 min