Docentenhandleiding: Deelbaarheid door 3 en 9

Leer de cijfersomregel: tel de cijfers van een getal op en zie meteen of het deelbaar is door 3 of door 9, vind ontbrekende cijfers en controleer je optellingen.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Deelbaarheid. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De cijfersom en de herhaalde cijfersom van een natuurlijk getal bepalen
Met de cijfersom beslissen of een getal deelbaar is door 3 en door 9
Uitleggen waarom elk veelvoud van 9 een veelvoud van 3 is, maar niet andersom
De regel uitleggen met plaatswaarde: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
Een ontbrekend cijfer vinden zodat een getal deelbaar is door 3 of 9, en een optelling controleren met de negenproef

Vereisten

• Deelbaarheidsregels: wat deelbaar door betekent en wat een rest is
• Deelbaarheid door 2, 5 en 10: regels die naar het laatste cijfer kijken
• De tafels van 3 en 9
• Plaatswaarde: eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen

Discussiestarters

1. Waarom zegt het laatste cijfer iets over 2, 5 en 10, maar niet over 3 en 9?
2. Als je de cijfers van een getal dat deelbaar is door 9 door elkaar haalt, is het nieuwe getal dan nog steeds deelbaar door 9? Waarom?
3. Kun je een getal vinden dat deelbaar is door 3 maar niet door 9? En een getal dat deelbaar is door 9 maar niet door 3?
4. Wat is er bijzonder aan 10 = 9 + 1? Zou een vergelijkbare truc werken voor 11?
5. De negenproef zegt dat een antwoord goed is. Kan het toch fout zijn?

Veelvoorkomende misvattingen

Een getal dat eindigt op 3, 6 of 9 is deelbaar door 3

Herstel: Laat tegenvoorbeelden naast elkaar zien: 13, 16, 19 zijn niet deelbaar door 3, maar 12, 15, 21 wel. Tel daarna van elk getal de cijfers op om te laten zien dat de cijfersom beslist.

Deelbaar door 3 en deelbaar door 9 betekenen hetzelfde

Herstel: Schrijf de veelvouden van 3 tot 36 op en omcirkel de veelvouden van 9: elk derde getal is omcirkeld. Cijfersom 3 of 6 geeft alleen 3, cijfersom 9 geeft allebei.

De cijfersom is de uitkomst van de deling

Herstel: Benadruk dat de cijfersom alleen ja of nee zegt (en de rest geeft). Bij 4527 is de cijfersom 18, maar 4527 ÷ 9 is 503.

Een kloppende negenproef betekent dat het antwoord zeker goed is

Herstel: Geef 2345 + 1678 = 4032 (cijfers omgewisseld). De proef klopt, maar het antwoord is fout. De proef vindt veel fouten, niet alle.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met getallen van 2 cijfers en de tafels van 3 en 9 op tafel
• Cijferkaarten of fiches gebruiken om de cijfers één voor één op te tellen
• Elk antwoord met de rekenmachine controleren, zodat leerlingen de regel gaan vertrouwen

Voor leerlingen op niveau:

• Werken met getallen van 4 tot 6 cijfers en herhaalde cijfersommen
• Puzzels met een ontbrekend cijfer oplossen voor 3 en voor 9
• Optellingen controleren met de negenproef

Voor gevorderde leerlingen:

• De regel bewijzen voor een getal van 3 cijfers abc met 100a + 10b + c
• Alle getallen van 3 cijfers vinden die met 1 beginnen en deelbaar zijn door 9, en het patroon uitleggen
• Regels combineren: welke cijfers maken 7_2 deelbaar door 6 (door 2 en door 3)?

Standaarduitlijning

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Alle factorparen van een natuurlijk getal van 1 tot 100 vinden en bepalen of een getal een veelvoud is van een getal van één cijfer
4.NBT.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.A.1)
Herkennen dat in een getal van meer cijfers een cijfer tien keer zoveel waard is als op de plaats rechts ervan
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
De grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van natuurlijke getallen bepalen en de distributieve eigenschap gebruiken

Lesbronnen

visualDeelbaarheid oefenen
Leerlingen gokken ja of nee voor 3 en 9, daarna toont het hulpmiddel de cijfersom en de echte deling
visualWaarom het werkt
Een lang getal gesplitst in veelvouden van 999, 99 en 9 plus zijn cijfersom
activityCijferkaarten schudden
Tweetallen leggen getallen van 3 en 4 cijfers met cijferkaarten, voorspellen de deelbaarheid door 3 en 9, schudden dan de kaarten en zien dat het antwoord hetzelfde blijft
gameRace om het ontbrekende cijfer
Teams zoeken zo snel mogelijk alle cijfers die een getal als 52_4 deelbaar maken door 3, en daarna het ene cijfer voor 9
worksheetControleer de sommen
Tien optellingen, sommige met fouten: leerlingen gebruiken de negenproef om de foute te vinden

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Om te testen of een getal deelbaar door 3 of deelbaar door 9 is, helpt het laatste cijfer niet. In plaats daarvan tel je al zijn cijfers op. Dat totaal heet de cijfersom.

De regel voor 3

Een getal is deelbaar door

3

als zijn cijfersom deelbaar is door

3

516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

De regel voor 9

Een getal is deelbaar door

9

als zijn cijfersom deelbaar is door

9

4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Grote getallen: nog eens optellen

Als de cijfersom nog groot is, tel je de cijfers daarvan opnieuw op, tot er één cijfer over is:

987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3

Het laatste cijfer vertelt alles:

3

6

9

betekent deelbaar door

3

, en alleen

9

betekent deelbaar door

9

9 is strenger dan 3

Elk getal dat deelbaar is door

9

is ook deelbaar door

3

(want

9 = 3 \times 3

). Andersom klopt niet:

516

is deelbaar door

3

, maar zijn cijfersom

12

is niet deelbaar door

9

, dus

516

is niet deelbaar door

9

Uitgewerkte voorbeelden

516

deelbaar door

3

? Is het deelbaar door

9

Tel alle cijfers op

5 + 1 + 6 = 12

→ Cijfersom:

12

Test de cijfersom op 3

12 \div 3 = 4

, geen rest →

516

is deelbaar door

3

516 \div 3 = 172

Test de cijfersom op 9

12 \div 9 = 1

rest

3

→

516

is niet deelbaar door

9

Antwoord: $516$ is deelbaar door $3$ ( $516 \div 3 = 172$ ) maar niet door $9$ , omdat de cijfersom $12$ een veelvoud van $3$ is, maar niet van $9$ .

Veelgemaakte fouten

Naar het laatste cijfer kijken, zoals bij 2, 5 en 10

Waarom het fout is: Het laatste cijfer zegt niets over 3 of 9. $23$ eindigt op $3$ maar is niet deelbaar door $3$ , terwijl $27$ op $7$ eindigt en deelbaar is door $3$ en door $9$ .

Correct: Tel altijd alle cijfers op: $2 + 7 = 9$ , dus $27$ is deelbaar door $3$ en door $9$ .

Denken dat elk getal dat deelbaar is door 3 ook deelbaar is door 9

Waarom het fout is: De regel voor $9$ is strenger. Een cijfersom van $12$ of $15$ is een veelvoud van $3$ , maar niet van $9$ .

Correct: $516$ (cijfersom $12$ ) is deelbaar door $3$ maar niet door $9$ . Andersom werkt het altijd: elk veelvoud van $9$ is een veelvoud van $3$ .

Stoppen bij het eerste cijfer dat past in een puzzel met een ontbrekend cijfer

Waarom het fout is: Voor $3$ passen meestal drie of vier cijfers, omdat de veelvouden van $3$ maar $3$ uit elkaar liggen.

Correct: Bij $52\square4$ en $3$ test je $12$ , $15$ en $18$ : in het hokje kan $1$ , $4$ of $7$ staan.

Denken dat een kloppende negenproef bewijst dat het antwoord goed is

Waarom het fout is: De negenproef vindt maar een deel van de fouten. Twee cijfers omwisselen verandert de cijfersom niet, dus $4032$ doorstaat dezelfde proef als $4023$ .

Correct: Klopt de proef niet, dan is het antwoord zeker fout. Klopt ze wel, dan is het antwoord waarschijnlijk goed, maar niet zeker.

Waarom het belangrijk is

De cijfersomregel is een van de handigste trucs bij het rekenen:

Eerlijk verdelen: kun je 378 stickers verdelen over 9 vrienden? $3 + 7 + 8 = 18$ , dus ja, zonder eerst te delen.
Breuken vereenvoudigen: in $\frac{51}{87}$ zijn beide cijfersommen ( $6$ en $15$ ) deelbaar door $3$ , dus je kunt beide door $3$ delen: $\frac{17}{29}$ .
Je werk controleren: de cijfersom houdt de rest bij deling door $9$ vast, dus je kunt een lange optelling in een paar seconden controleren (dat heet de negenproef).
Getallenpuzzels: puzzels met een ontbrekend cijfer en codes verstoppen vaak een getal dat deelbaar is door $3$ of $9$ .

Na de regels voor 2, 5 en 10 (die naar het laatste cijfer kijken) is dit de eerste regel die alle cijfers gebruikt, en hij bereidt je voor op de regels voor 6 en 12.

Toepassingen in de echte wereld

Gelijke teams maken

Trainers en leraren moeten een groep vaak in gelijke teams verdelen. De cijfersom vertelt meteen of dat lukt.

Voorbeeld:

Kunnen $135$ lopers in $9$ gelijke groepen starten? $1 + 3 + 5 = 9$ , dus ja: $135 \div 9 = 15$ lopers per groep.

1Probeer het zelf

Op de sportdag van een school zijn $378$ leerlingen. De leraren willen $9$ even grote teams maken.

Hoeveel leerlingen komen er in elk team?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Verdeel de leerlingen over 9 teams:

Een rekening controleren

Voor er rekenmachines waren, controleerden winkeliers en boekhouders lange optellingen met cijfersommen. Het is nog steeds een snelle manier om een slordigheidsfout in je eigen berekening te vinden.

Voorbeeld:

$1236 + 2458 = 3694$ : de resten zijn $3$ en $1$ , samen $4$ , en $3694$ geeft ook $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$ . De proef klopt.

2Probeer het zelf

Een kassamedewerker telt twee pakbonnen op: $1236 + 2458 = 3694$ . Je wilt het totaal controleren met de resten bij deling door $9$ .

Welke rest geeft het totaal $3694$ bij deling door $9$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal de rest van 3694 gedeeld door 9:

Een code kraken

Puzzelboeken en escaperooms houden van codes met een ontbrekend cijfer. Een hint over deelbaarheid geeft vaak in één stap het antwoord.

Voorbeeld:

Een code $7\square2$ is deelbaar door $9$ : $7 + 2 = 9$ , dus in het hokje moet $0$ of $9$ staan ( $702$ of $792$ ).

3Probeer het zelf

De code van een fietsslot is $4\square71$ . Op een briefje staat: de code is deelbaar door $9$ .

Welk cijfer ontbreekt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zoek het cijfer dat de cijfersom aanvult tot het volgende veelvoud van 9:

Belangrijke punten

1De cijfersom is het totaal van alle cijfers van een getal: voor $4527$ is dat $4 + 5 + 2 + 7 = 18$
2Een getal is deelbaar door $3$ als zijn cijfersom deelbaar is door $3$ , en door $9$ als zijn cijfersom deelbaar is door $9$
3Bij grote getallen tel je de cijfers steeds opnieuw op tot er één cijfer over is: $3$ , $6$ , $9$ betekent deelbaar door $3$ , alleen $9$ betekent deelbaar door $9$
4Elk veelvoud van $9$ is een veelvoud van $3$ , maar niet elk veelvoud van $3$ is een veelvoud van $9$
5Het werkt omdat $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 999 + 1$ : de negens vallen weg en alleen de cijfersom blijft over
6Een getal en zijn cijfersom geven dezelfde rest bij deling door $3$ of $9$ , zo vind je ontbrekende cijfers en controleer je optellingen (negenproef)

Veelgestelde vragen

Maakt de volgorde van de cijfers uit?

Nee.

4527

7254

2745

hebben allemaal cijfersom

18

, dus alle drie zijn deelbaar door

9

. Cijfers verschuiven verandert de cijfersom nooit.

En het cijfer 0?

Een

0

voegt niets toe aan de cijfersom, dus je kunt hem overslaan.

3051

351

hebben dezelfde cijfersom

9

, en beide zijn deelbaar door

9

Waarom werkt deze truc niet voor 7?

Hij werkt voor

3

9

omdat

10

precies

1

meer is dan een veelvoud van

9

. Voor

7

klopt dat niet (

10 = 7 + 3

), dus de plaatswaarden vallen niet weg. Voor

7

heb je een andere test nodig.

Hoe vind ik de rest met de cijfersom?

Breng het getal terug tot één cijfer. Voor

9

is dat cijfer de rest, alleen betekent

9

rest

0

. Bijvoorbeeld

7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4

, en inderdaad

7654 = 9 \times 850 + 4

Woordenlijst

Cijfersom: Het totaal dat je krijgt als je alle cijfers van een getal optelt, bijvoorbeeld $372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12$
Herhaalde cijfersom: Steeds opnieuw de cijfers optellen tot er één cijfer over is, bijvoorbeeld $987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3$
Deelbaar door: Een getal is deelbaar door $3$ als delen door $3$ geen rest geeft, bijvoorbeeld $372 \div 3 = 124$
Deelbaarheidsregel: Een snelle manier om te zien of een getal deelbaar is door een ander getal, zonder de deling uit te voeren
Rest: Wat er overblijft na het delen, bijvoorbeeld $23 \div 9 = 2$ rest $5$
Negenproef: Een berekening controleren door elk getal te vervangen door zijn rest bij deling door $9$ (zijn herhaalde cijfersom)

Formulekaart

Regel voor 3

3 \mid n \iff 3 \mid \text{cijfersom van } n

Een getal is deelbaar door 3 als zijn cijfersom deelbaar is door 3

Regel voor 9

9 \mid n \iff 9 \mid \text{cijfersom van } n

Een getal is deelbaar door 9 als zijn cijfersom deelbaar is door 9

Waarom het werkt

4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

De delen met 999, 99 en 9 zijn altijd veelvouden van 9, dus alleen de cijfersom beslist

Zelfde rest

7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Een getal geeft bij deling door 9 (of 3) dezelfde rest als zijn cijfersom

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Deelbaarheid door 3 en 9

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

De regel voor 3

De regel voor 9

Grote getallen: nog eens optellen

9 is strenger dan 3

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Gelijke teams maken

Een rekening controleren

Een code kraken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Regel voor 3

Regel voor 9

Waarom het werkt

Zelfde rest

Meer over dit onderwerp

Deelbaarheidsregels

Deelbaarheid door 2, 5 en 10

Deelbaarheid door 4, 6 en 8

Gecombineerde deelbaarheidsregels