Docentenhandleiding: Gecombineerde deelbaarheidsregels

Combineer eenvoudige regels om op 12, 15, 18 en 36 te testen, leer de alternerende cijfersom voor 11 en vind alle delers van 2 tot 12 in een paar seconden.

Les presenteren Delen in Classroom Studentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Deelbaarheid. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

Deelbaarheidsregels van onderling ondeelbare factoren combineren om op 12, 15, 18 en 36 te testen
Met een tegenvoorbeeld uitleggen waarom regels voor factoren die niet relatief priem zijn, zoals 2 en 6, niet gecombineerd mogen worden om hun product te testen
De alternerende cijfersom gebruiken om deelbaarheid door 11 te testen
Snel alle delers van 2 tot en met 12 van een getal vinden en opgaven met ontbrekende cijfers onder twee regels oplossen

Vereisten

• Deelbaarheidsregels voor 2, 5 en 10 (les Deelbaarheid door 2, 5 en 10)
• Cijfersomregels voor 3 en 9 (les Deelbaarheid door 3 en 9)
• Regels voor 4, 8 en 6 = 2 × 3 (les Deelbaarheid door 4, 6 en 8)
• Delers, veelvouden en resten

Discussiestarters

1. 18 is deelbaar door 2 en door 6. Waarom is het niet deelbaar door 12?
2. Met welke paren getallen zou je op 24 kunnen testen? Welke paren zouden foute antwoorden geven?
3. Waarom heeft 11 een alternerende cijfersom nodig, terwijl voor 9 de gewone cijfersom genoeg is?
4. Een getal slaagt voor de tests van 4 en 9. Welke andere getallen moeten het delen?
5. Wanneer zou je in het dagelijks leven willen weten of een getal deelbaar is door 12 of 15?

Veelvoorkomende misvattingen

Elke twee factoren waarvan het product de deler is, geven een geldige test (12 = 2 × 6)

Herstel: Laat leerlingen 18, 30 en 42 testen op 2 en 6 en daarna delen door 12. Koppel het mislukken aan de gemeenschappelijke factor 2 en aan kgv(2, 6) = 6.

Een alternerende cijfersom van 0 betekent dat het getal niet deelbaar is door 11

Herstel: Vraag wat 0 : 11 is. Laat 1386 zien: 6 - 8 + 3 - 1 = 0 en 1386 = 11 × 126.

Als een getal deelbaar is door 12, moet het ook deelbaar zijn door 24

Herstel: Zet 36 (deelbaar door 12, niet door 24) naast 48. Deelbaarheid gaat van het product naar zijn factoren, niet andersom.

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Geef een tabel met twee kolommen: test 1, test 2, allebei geslaagd?
• Begin met 15 = 3 × 5 en 18 = 2 × 9, waar beide tests makkelijk zijn
• Werk alleen met getallen van drie en vier cijfers

Voor leerlingen op niveau:

• Volledig delers zoeken van 2 tot en met 12 bij getallen van vier cijfers
• Opgaven met ontbrekende cijfers oplossen voor 12, 18 en 36
• Tegenvoorbeelden vinden en uitleggen voor paren die niet relatief priem zijn

Voor gevorderde leerlingen:

• Tests bouwen voor 24, 45, 72 en 99 uit onderling ondeelbare paren
• De regel voor 11 bewijzen met de resten van machten van 10
• Getallen van 12 cijfers testen op 11 en 12 en controleren met modulair rekenen

Standaarduitlijning

4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Alle factorparen van een geheel getal vinden en bepalen of het een veelvoud is van een gegeven getal van één cijfer
6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)
De grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van twee gehele getallen bepalen

Lesbronnen

visualOefenbord deelbaarheid
Leerlingen raden ja of nee voor elke deler van 2 tot en met 12 en bekijken daarna elke regel en de uitkomst
activityZoek het tegenvoorbeeld
In tweetallen zoeken leerlingen getallen die voor twee tests slagen maar niet deelbaar zijn door het product (2 en 6, 4 en 6, 3 en 12) en leggen uit waarom
gameRace om het ontbrekende cijfer
Teams zoeken zo snel mogelijk het cijfer dat een getal deelbaar maakt door 12, 18 of 36
worksheetRooster delers zoeken
Een rooster met getallen om te testen op 2 tot en met 12, ook op 11 met de alternerende cijfersom

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Sommige delers hebben geen eigen regel, maar je kunt twee eenvoudige regels combineren.

Gecombineerde regel: als

a

b

relatief priem zijn (onderling ondeelbaar: hun enige gemeenschappelijke deler is

1

), dan is een getal dat deelbaar is door

a

en door

b

ook deelbaar door

a \times b

Deler	Test	Waarom het werkt
$12 = 3 \times 4$	cijfersom deelbaar door 3 en laatste twee cijfers deelbaar door 4	3 en 4 zijn relatief priem
$15 = 3 \times 5$	cijfersom deelbaar door 3 en laatste cijfer 0 of 5	3 en 5 zijn relatief priem
$18 = 2 \times 9$	laatste cijfer even en cijfersom deelbaar door 9	2 en 9 zijn relatief priem
$36 = 4 \times 9$	laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9	4 en 9 zijn relatief priem

Let op:

12 = 2 \times 6

is GEEN geldige test, want 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2. Het getal

18

is deelbaar door 2 en door 6, maar

18 : 12 = 1{,}5

. In het algemeen bewijzen de tests voor

a

b

deelbaarheid door

\text{kgv}(a, b)

, en dat is alleen

a \times b

als

a

b

relatief priem zijn.

Deelbaarheid door 11 (alternerende cijfersom): begin bij het cijfer van de eenheden en tel de cijfers om de beurt op en af:

+ - + - \dots

Is de uitkomst deelbaar door 11 (dus ook

0

11

-11

22

), dan is het getal deelbaar door 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ is deelbaar door } 11

Uitgewerkte voorbeelden

7128

deelbaar door

12

Splits 12 in onderling ondeelbare factoren

12 = 3 \times 4

, en 3 en 4 hebben geen gemeenschappelijke deler behalve 1 → Test 3 en 4

Test 3 met de cijfersom

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, en

18

is deelbaar door 3

Test 4 met de laatste twee cijfers

De laatste twee cijfers vormen

28

, en

28 : 4 = 7

→ Deelbaar door 4

Combineer en controleer

Beide tests slagen, dus 12 deelt het getal:

7128 : 12 = 594

→ Deelbaar door 12

Antwoord: Ja, $7128$ is deelbaar door $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Veelgemaakte fouten

12 testen met de regels voor 2 en 6

Waarom het fout is: 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2, dus slagen voor beide tests bewijst alleen deelbaarheid door 6. Tegenvoorbeeld: $18$ (en ook $30$ ) is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12.

Correct: Gebruik onderling ondeelbare factoren: $12 = 3 \times 4$ . Controleer de cijfersom voor 3 en de laatste twee cijfers voor 4.

36 testen met 3 en 12

Waarom het fout is: 3 en 12 hebben de gemeenschappelijke factor 3. $24$ is deelbaar door 3 en door 12, maar $24 : 36$ is geen geheel getal.

Correct: Gebruik $36 = 4 \times 9$ : laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9.

Denken dat één geslaagde test genoeg is

Waarom het fout is: Een gecombineerde regel heeft BEIDE tests nodig. $25$ eindigt op 5, maar de cijfersom is 7, dus het is niet deelbaar door 15.

Correct: Controleer elke factor van het paar. Als één test mislukt, is het getal niet deelbaar door het product.

Een alternerende cijfersom van $0$ of $-11$ lezen als niet deelbaar door 11

Waarom het fout is: $0$ , $-11$ en $-22$ zijn ook veelvouden van 11. Voor $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , en inderdaad is $9174 = 11 \times 834$ .

Correct: Het getal is deelbaar door 11 zodra de alternerende cijfersom $0$ of een willekeurig veelvoud van 11 is, positief of negatief.

Waarom het belangrijk is

Gecombineerde regels maken van een grote vraag twee snelle controles:

Eerlijk verdelen: kun je 1350 stickers zonder rest over 15 klassen verdelen? Twee controles zeggen ja.
Dienstregelingen: een dag heeft 1440 minuten, dus een tram om de 36 minuten past precies in de dag als 1440 deelbaar is door 36.
Breuken: wie ziet dat 12 of 18 de teller en de noemer deelt, vereenvoudigt een breuk in één stap.
Enorme getallen: een getal van 12 cijfers test je in een paar seconden op 11 of 12, ook als de rekenmachine te weinig cijfers laat zien.

Het idee achter elke gecombineerde regel, onderling ondeelbare factoren, is ook de sleutel tot het kleinste gemene veelvoud en tot veel puzzels met ontbrekende cijfers.

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijk verdelen

Leraren, trainers en organisatoren willen vaak weten of iets zonder rest verdeeld kan worden.

Voorbeeld:

Een school heeft 1350 stickers voor 15 klassen. $15 = 3 \times 5$ : het laatste cijfer is 0 (deelbaar door 5) en $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (deelbaar door 3). De stickers kunnen dus eerlijk verdeeld worden.

1Probeer het zelf

Een school wil 1350 stickers verdelen over 15 klassen, elke klas evenveel.

Hoeveel stickers krijgt elke klas?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de deling die het aantal stickers per klas geeft:

Dienstregelingen

Vervoersplanners willen vertrektijden die elke dag in hetzelfde patroon terugkomen. Een dag heeft $24 \times 60 = 1440$ minuten.

Voorbeeld:

Een bus om de 12 minuten past precies in een dag: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (deelbaar door 3) en $40 : 4 = 10$ , dus 1440 is deelbaar door 12, wat 120 vertrekken geeft.

2Probeer het zelf

Een tram vertrekt dag en nacht om de 36 minuten, de eerste om middernacht.

Hoeveel trams vertrekken er op een dag van 1440 minuten?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de deling die het aantal vertrekken geeft:

De 12-cijfercontrole

Veel rekenmachines tonen maar 8 tot 10 cijfers en kunnen een getal van 12 cijfers dus niet exact delen. Deelbaarheidsregels werken bij getallen van elke lengte.

Voorbeeld:

Bij $123.456.789.012$ is de cijfersom $48$ (deelbaar door 3) en vormen de laatste twee cijfers $12$ (deelbaar door 4), dus het getal is deelbaar door 12.

3Probeer het zelf

Een code van 12 cijfers is $123.456.789.012$ . Je wilt zonder rekenmachine weten of hij deelbaar is door 12 en door 11.

Welke rest blijft er over als je $123.456.789.012$ door 12 deelt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul de rest in:

Belangrijke punten

1Als $a$ en $b$ relatief priem zijn, is een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ ook deelbaar door $a \times b$
2Test 12 met 3 en 4, 15 met 3 en 5, 18 met 2 en 9, 36 met 4 en 9
3Test een product nooit met twee factoren die een gemeenschappelijke factor hebben: 18 is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12
4Deelbaar door 11: de alternerende cijfersom ( $+ - + - \dots$ vanaf de eenheden) is een veelvoud van 11, ook $0$ en negatieve veelvouden tellen
5Om snel delers te zoeken gebruik je tests met het laatste cijfer, cijfersommen en de alternerende cijfersom, en combineer je daarna onderling ondeelbare paren
6Bij een ontbrekend cijfer met twee regels maak je per regel een lijst van cijfers die slagen en houd je de cijfers over die in beide lijsten staan

Veelgestelde vragen

Waarom moeten de twee factoren relatief priem zijn?

Een getal dat deelbaar is door

a

en door

b

is een gemeenschappelijk veelvoud van

a

b

, en dus deelbaar door

\text{kgv}(a, b)

. Als

a

b

relatief priem zijn, geldt

\text{kgv}(a, b) = a \times b

. Hebben ze een gemeenschappelijke factor, dan is het kgv kleiner:

\text{kgv}(2, 6) = 6

, niet 12.

Waarom werkt de alternerende cijfersom voor 11?

10 = 11 - 1

, dus 10 geeft bij delen door 11 de rest

-1

100 = 99 + 1

geeft

+1

1000 = 1001 - 1

geeft

-1

, enzovoort. Elk cijfer telt dus mee met het teken

+, -, +, -, \dots

vanaf de eenheden, en het getal heeft dezelfde rest als zijn alternerende cijfersom.

Maakt het uit of ik de alternerende cijfersom links of rechts begin?

Voor het antwoord ja of nee maakt het niet uit: de twee uitkomsten zijn gelijk of elkaars tegengestelde, en

-22

is precies dan een veelvoud van 11 als

22

dat is. Beginnen bij de eenheden met

+

bewaart bovendien de rest van het getal (tel 11 erbij of eraf tot je tussen 0 en 10 uitkomt), dus dat is de veiligste gewoonte.

Kan ik 24 testen met 4 en 6?

Nee, 4 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2.

12

is deelbaar door 4 en 6, maar niet door 24. Gebruik het onderling ondeelbare paar

24 = 3 \times 8

: cijfersom deelbaar door 3 en laatste drie cijfers deelbaar door 8.

Woordenlijst

Relatief priem (onderling ondeelbaar): Twee getallen zijn relatief priem als hun enige gemeenschappelijke deler 1 is. Voorbeeld: 4 en 9 zijn relatief priem, 2 en 6 niet.
Gecombineerde deelbaarheidsregel: Een test voor een product $a \times b$ van onderling ondeelbare getallen: het getal moet slagen voor de test van $a$ en voor de test van $b$ .
Alternerende cijfersom: De cijfers om de beurt opgeteld en afgetrokken vanaf de eenheden: voor 2816 is dat $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Cijfersom: De som van alle cijfers van een getal. De cijfersom van 1980 is $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Rest: Wat er na het delen overblijft. $18 : 12 = 1$ rest $6$ .
Kleinste gemene veelvoud (kgv): Het kleinste getal dat een veelvoud is van beide getallen. $\text{kgv}(3, 4) = 12$ , $\text{kgv}(2, 6) = 6$ .

Formulekaart

Gecombineerde regel

a, b

relatief priem:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Werkt alleen als de twee factoren geen gemeenschappelijke deler hebben behalve 1

Deelbaar door 12

12 = 3 \times 4

Cijfersom deelbaar door 3 en laatste twee cijfers deelbaar door 4

Deelbaar door 15

15 = 3 \times 5

Cijfersom deelbaar door 3 en laatste cijfer 0 of 5

Deelbaar door 18

18 = 2 \times 9

Laatste cijfer even en cijfersom deelbaar door 9

Deelbaar door 36

36 = 4 \times 9

Laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9

Deelbaar door 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

De alternerende cijfersom vanaf de eenheden is een veelvoud van 11 (ook 0)

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Gecombineerde deelbaarheidsregels

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijk verdelen

Dienstregelingen

De 12-cijfercontrole

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Gecombineerde regel

Deelbaar door 12

Deelbaar door 15

Deelbaar door 18

Deelbaar door 36

Deelbaar door 11

Meer over dit onderwerp

Deelbaarheidsregels

Deelbaarheid door 2, 5 en 10

Deelbaarheid door 3 en 9

Deelbaarheid door 4, 6 en 8