Docentenhandleiding: Grafieken van logaritmische functies

Leer logaritmische functies tekenen: belangrijke punten, domein, bereik, verticale asymptoot, het spiegelbeeld van de exponentiële functie en verschuivingen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$y = \log_b x$ tekenen voor $b > 1$ en voor $0 < b < 1$ met behulp van de belangrijke punten
Het domein, het bereik, de verticale asymptoot en de snijpunten met de assen van een logaritmische functie geven
De grafiek van $y = \log_b x$ uitleggen als het spiegelbeeld van $y = b^x$ in $y = x$
Verschuivingen en spiegelingen van $y = \log_b x$ tekenen, bijvoorbeeld $y = -\log_3(x + 2)$
De vergelijking $y = \log_b(x - h) + k$ bepalen uit een asymptoot en twee punten

Vereisten

• Definitie van de logaritme: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Grafieken van exponentiële functies $y = b^x$
• Grafieken van functies verschuiven en spiegelen
• Briggse logaritme (grondtal 10) en Natuurlijke logaritme (ln)

Discussiestarters

1. Waarom kan de grafiek van $y = \log_2 x$ de $y$ -as nooit bereiken, ook al komt hij er heel dicht bij?
2. Voor grote x lijkt de kromme bijna vlak. Stopt hij ooit met stijgen? Hoe zou je een vriend overtuigen?
3. Wat gebeurt er met de punten $(1, 0)$ en $(b, 1)$ als je $h$ en $k$ verandert?
4. Waarom wordt een horizontale asymptoot door spiegelen in $y = x$ een verticale?

Veelvoorkomende misvattingen

$y = \log_b(x - h)$ verschuift de grafiek naar links als $h$ positief is

Herstel: Laat leerlingen $x - h = 1$ oplossen om te zien waar de grafiek $y = 0$ bereikt: voor $h = 3$ is dat $x = 4$ , drie eenheden rechts van $(1, 0)$ .

De logaritmische grafiek heeft een horizontale asymptoot omdat hij vlak lijkt

Herstel: Maak een tabel met $x = 2, 4, 8, \dots, 1024$ voor $y = \log_2 x$ : de y-waarden $1, 2, 3, \dots, 10$ blijven telkens met $1$ groeien.

Een grondtal tussen 0 en 1 geeft geen logaritme of bestaat niet

Herstel: Bereken met de definitie $\log_{1/2} 4 = -2$ en $\log_{1/2} \frac{1}{2} = 1$ en teken de punten: de kromme is een dalend spiegelbeeld van $y = \log_2 x$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met $y = \log_2 x$ en een tabel met alleen machten van 2
• De drie belangrijke punten $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(b, 1)$ als vaste routine voor elke grafiek gebruiken
• Steeds maar één ding verschuiven: eerst $k$ , dan $h$

Voor leerlingen op niveau:

• Functies zoals $y = \log_3(x + 2) - 1$ tekenen en het domein en de asymptoot geven
• $y = \log_2 x$ en $y = \log_{1/2} x$ vergelijken in de grafiekplotter
• De vergelijking van een logaritmische grafiek bepalen uit de asymptoot en twee punten

Voor gevorderde leerlingen:

• $y = \log_2(6 - 2x)$ tekenen en uitleggen waarom het domein $x < 3$ is
• $y = a \log_b x$ onderzoeken voor verschillende $a$ en vergelijken met een ander grondtal
• Bewijzen dat $y = \log_{1/b} x$ het spiegelbeeld van $y = \log_b x$ in de $x$ -as is

Standaarduitlijning

HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Grafieken van exponentiële en logaritmische functies tekenen met de snijpunten met de assen en het gedrag aan de uiteinden
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Het effect op de grafiek herkennen als f(x) vervangen wordt door f(x) + k, k f(x), f(kx) en f(x + k)
HSF.BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen

Lesbronnen

visualLogaritme-verkenner
Schuifregelaars voor $b$ , $h$ en $k$ bewegen de kromme, de asymptoot en de twee belangrijke punten live
activityVouwen langs y = x
Leerlingen tekenen $y = 2^x$ op overtrekpapier, vouwen langs $y = x$ en trekken de logaritmische grafiek over
worksheetAsymptoot, domein, punten
Tien getransformeerde logaritmische functies: asymptoot, domein en twee belangrijke punten bepalen, daarna schetsen

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

Een logaritmische functie heeft de vorm

f(x) = \log_b x

met grondtal

b > 0

b \neq 1

. Het is de inverse functie van de exponentiële functie

y = b^x

y = \log_b x

betekent

b^y = x

Belangrijke punten (ze volgen direct uit de definitie):

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ omdat $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ omdat $b^0 = 1$
$(b, 1)$ omdat $b^1 = b$

**Eigenschappen van de grafiek van

y = \log_b x

:**

Domein: $x > 0$ (je kunt alleen de logaritme van een positief getal nemen)
Bereik: alle reële getallen
Verticale asymptoot: de lijn $x = 0$ (de $y$ -as); de grafiek komt er steeds dichter bij, maar raakt hem nooit
**Snijpunt met de $x$ -as**: $(1, 0)$ ; er is geen snijpunt met de $y$ -as
Als $b > 1$ , is de grafiek stijgend; als $0 < b < 1$ , is hij dalend

De grafiek van

y = \log_b x

is het spiegelbeeld van de grafiek van

y = b^x

in de lijn

y = x

: elk punt

(p, q)

van

y = b^x

wordt het punt

(q, p)

Transformaties:

y = \log_b(x - h) + k

verschuift de grafiek $h$ eenheden naar rechts (naar links als $h < 0$ ) en $k$ eenheden omhoog (omlaag als $k < 0$ )
verticale asymptoot $x = h$ , domein $x > h$ , belangrijke punten $(1 + h, k)$ en $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ spiegelt de grafiek in de $x$ -as; $y = \log_b(-x)$ spiegelt hem in de $y$ -as (domein $x < 0$ )

Beweeg in de interactieve grafiek de schuifregelaars

b

h

k

en kijk hoe de asymptoot en de twee belangrijke punten meebewegen.

Uitgewerkte voorbeelden

Teken $y = \log_2 x$ en geef het domein, het bereik en de asymptoot.

Kies x-waarden die machten van 2 zijn

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , omdat $\log_2$ van een macht van 2 makkelijk te vinden is → Zes handige x-waarden

Bereken elke y-waarde

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Teken de punten en de asymptoot

Teken $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ en de gestippelde lijn $x = 0$ → Punten en asymptoot $x = 0$

Verbind ze met een vloeiende kromme

De kromme duikt vlak bij de $y$ -as steil omlaag zonder die te raken en stijgt naar rechts langzaam → Stijgende kromme door $(1, 0)$

Antwoord: Domein $x > 0$ , bereik alle reële getallen, verticale asymptoot $x = 0$ , snijpunt met de $x$ -as $(1, 0)$ .

Veelgemaakte fouten

$y = \log_2(x - 3)$ drie eenheden naar links verschuiven

Waarom het fout is: Het minteken lijkt op een verschuiving naar links, maar het argument $x - 3$ moet positief zijn, dus $x > 3$ : de hele grafiek ligt rechts van $x = 3$ .

Correct: $y = \log_b(x - h)$ verschuift de grafiek $h$ eenheden naar rechts. $y = \log_2(x - 3)$ heeft de asymptoot $x = 3$ .

De grafiek de $y$ -as laten raken of snijden

Waarom het fout is: $\log_b 0$ en de logaritme van een negatief getal bestaan niet, omdat $b^y$ altijd positief is.

Correct: De grafiek van $y = \log_b x$ komt steeds dichter bij $x = 0$ , maar bereikt die lijn nooit. Het domein is $x > 0$ .

Denken dat de grafiek op een bepaalde hoogte blijft hangen

Waarom het fout is: De kromme stijgt langzaam en lijkt daardoor vlak, maar hij stopt nooit met stijgen: $\log_2 1024 = 10$ en $\log_2 1048576 = 20$ .

Correct: Een logaritmische grafiek heeft geen horizontale asymptoot. Het bereik is alle reële getallen.

Na een horizontale verschuiving het domein $x > 0$ houden

Waarom het fout is: Het domein volgt uit het argument, niet uit $x$ alleen.

Correct: Bij $y = \log_3(x + 5)$ moet het argument $x + 5$ positief zijn, dus het domein is $x > -5$ .

Waarom het belangrijk is

Grafieken van logaritmische functies laten zien hoe een grootheid groeit als elke nieuwe stap vele malen meer invoer nodig heeft:

Geluid: een geluidsmeter toont $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibel; de intensiteit keer $10$ geeft maar $10$ dB extra, daarom is de kromme zo vlak.
Scheikunde: $\text{pH} = -\log[H^+]$ is een gespiegelde logaritmische grafiek: meer waterstofionen geven een lagere pH.
Informatica: binair zoeken heeft voor $n$ items ongeveer $\log_2 n$ stappen nodig; een twee keer zo lange lijst kost maar één stap extra.
Aardbevingen: de waarde op de schaal van Richter stijgt met $1$ telkens als de amplitude met $10$ vermenigvuldigd wordt.

Zulke grafieken lezen betekent drie dingen in één oogopslag zien: waar de asymptoot ligt, welke waarden zijn toegestaan (domein) en hoe snel de kromme stijgt. Deze les bouwt voort op „Definitie van een logaritme” en bereidt je voor op „Logaritmische vergelijkingen oplossen”.

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Een geluidsmeter toont $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ decibel, waarbij $\frac{I}{I_0}$ aangeeft hoeveel keer sterker het geluid is dan het zachtste geluid dat we kunnen horen. De grafiek is een uitgerekte logaritmische kromme: heel vlak bij grote intensiteiten.

Voorbeeld:

Een geluid dat $100$ keer sterker is dan $I_0$ geeft $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Een geluid dat nog eens $10$ keer sterker is, geeft maar $30$ dB.

1Probeer het zelf

In een stille bibliotheek is het geluid $1000$ keer sterker dan het zachtste hoorbare geluid, dus $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

Wat is het geluidsniveau $L$ in decibel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $L = 10 \log(1000)$ :

Binair zoeken in de informatica

Binair zoeken vindt een naam in een gesorteerde lijst door de lijst steeds te halveren. Bij $n$ namen zijn ongeveer $\log_2 n$ halveringen nodig, dus de grafiek van het aantal stappen is de grafiek van $y = \log_2 x$.

Voorbeeld:

Een lijst met $8$ namen heeft $\log_2 8 = 3$ halveringen nodig: $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Probeer het zelf

Een gesorteerde contactenlijst heeft $1024$ namen. Elke stap van binair zoeken halveert de lijst.

Hoeveel halveringen zijn nodig om bij één naam uit te komen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\log_2(1024)$ :

De pH-schaal in de scheikunde

De zuurgraad meet je met $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen is. Het minteken spiegelt de logaritmische grafiek in de $x$-as, dus de pH daalt als de concentratie stijgt.

Voorbeeld:

Citroensap heeft $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , dus $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Probeer het zelf

Een monster regenwater heeft $[H^+] = 0{,}0001$ .

Wat is de pH?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Belangrijke punten

1 $y = \log_b x$ is de inverse van $y = b^x$ : de grafiek is het spiegelbeeld van $y = b^x$ in de lijn $y = x$
2Belangrijke punten van $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ en $(b, 1)$
3Domein $x > 0$ , bereik alle reële getallen, verticale asymptoot $x = 0$ , geen snijpunt met de $y$ -as
4Voor $b > 1$ is de grafiek stijgend; voor $0 < b < 1$ is hij dalend
5 $y = \log_b(x - h) + k$ verschuift de grafiek $h$ naar rechts en $k$ omhoog: asymptoot $x = h$ , domein $x > h$
6Een minteken voor de logaritme spiegelt de grafiek in de $x$ -as; $\log_b(-x)$ spiegelt hem in de $y$ -as

Veelgestelde vragen

Waarom raakt de grafiek de $y$ -as nooit?

Op de

y

-as geldt

x = 0

, en

\log_b 0

zou

b^y = 0

vereisen. Een positief grondtal tot welke macht dan ook is positief, dus geen enkele

y

werkt. Vlak bij

x = 0

worden de waarden (voor

b > 1

) heel grote negatieve getallen, daarom duikt de kromme langs de asymptoot omlaag.

Heeft de logaritmische grafiek een horizontale asymptoot zoals de exponentiële?

Nee. De exponentiële grafiek heeft de horizontale asymptoot

y = 0

; na het spiegelen in

y = x

wordt dat de verticale asymptoot

x = 0

. De logaritmische grafiek blijft (voor

b > 1

) stijgen, alleen heel langzaam.

Hoe zien de grafieken van $\log x$ en $\ln x$ eruit?

Beide hebben een grondtal groter dan 1 (

10

e \approx 2{,}718

), dus beide zijn stijgend, gaan door

(1, 0)

en hebben de asymptoot

x = 0

\ln x

gaat door

(e, 1)

\log x

door

(10, 1)

, daarom stijgt

\ln x

sneller.

Hoe zie ik of een logaritmische grafiek stijgt of daalt?

Kijk naar het grondtal. Als

b > 1

, stijgt de grafiek; als

0 < b < 1

, daalt hij. Ook een minteken ervoor, zoals in

y = -\log_2 x

, maakt van een stijgende grafiek een dalende.

Woordenlijst

Logaritmische functie: Een functie $f(x) = \log_b x$ met $b > 0$ , $b \neq 1$ ; ze geeft de exponent waartoe je $b$ moet verheffen om $x$ te krijgen
Verticale asymptoot: Een verticale lijn $x = h$ waar de grafiek steeds dichter bij komt zonder hem te raken; bij $y = \log_b x$ is dat $x = 0$
Domein: Alle x-waarden waarvoor de functie bestaat; bij $y = \log_b(x - h)$ is dat $x > h$
Bereik: Alle y-waarden die de functie aanneemt; bij elke logaritmische functie zijn dat alle reële getallen
Inverse functie: Een functie die een andere ongedaan maakt; de grafiek is het spiegelbeeld in $y = x$ , zoals $y = \log_b x$ bij $y = b^x$
Belangrijke punten: Punten die je makkelijk tekent: $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ en $(b, 1)$ bij $y = \log_b x$

Formulekaart

Standaardfunctie

y = \log_b x \iff b^y = x

Grondtal $b > 0$, $b \neq 1$; domein $x > 0$, bereik alle reële getallen

Belangrijke punten

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Teken eerst deze drie punten

Getransformeerde functie

y = \log_b(x - h) + k

Asymptoot $x = h$, domein $x > h$, belangrijke punten $(1 + h, k)$ en $(b + h, 1 + k)$

Spiegelingen

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

In de $x$-as en in de $y$-as (domein $x < 0$)

Inverse van de exponentiële functie

(p, q) \text{ op } y = b^x \iff (q, p) \text{ op } y = \log_b x

Spiegeling in de lijn $y = x$

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Grafieken van logaritmische functies

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Binair zoeken in de informatica

De pH-schaal in de scheikunde

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Standaardfunctie

Belangrijke punten

Getransformeerde functie

Spiegelingen

Inverse van de exponentiële functie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)