Docentenhandleiding: Quotiëntregel voor logaritmen

Ontdek waarom de logaritme van een quotiënt een verschil van logaritmen is, en gebruik de regel om uit te schrijven en samen te voegen.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

De quotiëntregel voor logaritmen en de voorwaarden voor $M$ , $N$ en het grondtal formuleren
Uitleggen waarom de regel volgt uit de rekenregel voor machten $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
Logaritmen van quotiënten uitschrijven als verschillen, ook samen met de productregel
Sommen en verschillen van logaritmen samenvoegen tot één logaritme en die berekenen
De fouten $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ en $\log(M - N) = \log M - \log N$ herkennen en verbeteren

Vereisten

• Definitie van een logaritme: $\log_b y = x$ betekent $b^x = y$
• Productregel voor logaritmen: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Rekenregels voor machten, vooral $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
• Logaritmen van exacte machten berekenen, zoals $\log_2 32$ of $\log 1000$

Discussiestarters

1. De productregel maakt van vermenigvuldigen optellen. Wat denk je dat er met delen gebeurt, voordat je de quotiëntregel ziet?
2. Waarom verdwijnt de referentie $I_0$ als je twee decibelwaarden van elkaar aftrekt?
3. Is $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ hetzelfde als $\log\left(\dfrac{N}{M}\right)$ ? Hoe hangen die twee samen?
4. Een klasgenoot schrijft $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \log 10$ . Hoe overtuig je haar met één berekening dat dit fout is?

Veelvoorkomende misvattingen

Denken dat een breuk van twee logaritmen te vereenvoudigen is als de logaritme van een breuk

Herstel: Zet $\dfrac{\log 100}{\log 10}$ en $\log\left(\dfrac{100}{10}\right)$ naast elkaar en bereken ze allebei ( $2$ tegenover $1$ ). Benadruk waar de breukstreep staat: binnen de logaritme of tussen twee logaritmen.

Denken dat de logaritme over een aftrekking verdeeld kan worden, dus $\log(M - N) = \log M - \log N$

Herstel: Laat leerlingen het op de rekenmachine testen ( $\log 90$ tegenover $1$ ) en vergelijk met $\sqrt{a - b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ . De regels koppelen alleen bewerkingen BINNEN de logaritme (vermenigvuldigen, delen) aan bewerkingen ERBUITEN (optellen, aftrekken).

De logaritme van een tweede factor in de noemer optellen, zoals in $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Herstel: Laat leerlingen eerst $\log M - \log(NP)$ met haakjes schrijven en daarna de haakjes wegwerken. Controleer met getallen zoals $M = 100$ , $N = 2$ , $P = 5$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Eerst alleen met exacte machten werken ( $\log_2 32 - \log_2 4$ ), zodat elke stap met de hand te controleren is
• Teller en noemer een kleur geven en dezelfde kleuren gebruiken voor de plus- en mintermen
• De herschreven uitdrukking altijd met een rekenmachinevoorbeeld controleren voordat je verdergaat

Voor leerlingen op niveau:

• Quotiënten met variabelen uitschrijven, zoals $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$
• Quotiëntregel en productregel in beide richtingen combineren
• Met gegeven waarden als $\log_b 2$ en $\log_b 5$ de waarden $\log_b 2{,}5$ of $\log_b 0{,}4$ vinden

Voor gevorderde leerlingen:

• De quotiëntregel bewijzen vanuit de productregel met $\dfrac{M}{N} = M \cdot \dfrac{1}{N}$
• Met de quotiëntregel uitleggen waarom de grafiek van $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ de grafiek van $y = \log x$ is, $\log a$ omlaag geschoven
• De formule voor het decibelverschil van twee geluiden afleiden en toepassen op echte gegevens

Standaarduitlijning

HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen en gebruiken om problemen met logaritmen en machten op te lossen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
De structuur van een uitdrukking gebruiken om manieren te vinden om haar te herschrijven
HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentieel model uitdrukken als logaritme en die berekenen

Lesbronnen

visualSamenvallende grafieken
Teken $y = \log\left(\dfrac{x}{a}\right)$ en $y = \log x - \log a$ met een schuifregelaar voor $a$ : de grafieken vallen samen, maar $y = \dfrac{\log x}{\log a}$ niet
activityKaartjes sorteren: waar of niet waar
Leerlingen testen beweringen als $\log(M - N) = \log M - \log N$ met de rekenmachine en sorteren ze in regels en valkuilen
worksheetUitschrijven en samenvoegen
Opgaven in paren: een quotiënt uitschrijven, het resultaat weer samenvoegen en controleren dat je terugkomt bij het begin

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De quotiëntregel voor logaritmen zegt: de logaritme van een quotiënt is de logaritme van de teller min de logaritme van de noemer.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

De regel geldt voor

M > 0

N > 0

en een grondtal

b > 0

met

b \neq 1

Waarom het klopt: een logaritme is een exponent. Stel

\log_b M = x

\log_b N = y

, dus

M = b^x

N = b^y

. Bij het delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten van elkaar af:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

Het is de tweelingregel van de productregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): vermenigvuldigen binnen de logaritme wordt optellen erbuiten, en delen binnen de logaritme wordt aftrekken erbuiten.

Voorbeeld:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, en inderdaad is

\log_2 8 = 3

Je kunt de regel in twee richtingen gebruiken:

Uitschrijven (splitsen): de logaritme van een quotiënt opsplitsen in een verschil, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Samenvoegen: een verschil samenvoegen tot één logaritme, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Uitgewerkte voorbeelden

Laat zien dat $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Bereken het linkerlid direct

$\dfrac{32}{4} = 8$ en $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Bereken elke logaritme in het rechterlid

$2^5 = 32$ en $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Trek af

$5 - 2 = 3$

Vergelijk beide leden

Linkerlid $3$ , rechterlid $3$ → Beide leden zijn gelijk

Antwoord: Beide leden zijn $3$ , dus $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Veelgemaakte fouten

$\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ schrijven

Waarom het fout is: Een quotiënt van twee logaritmen is niet de logaritme van een quotiënt. Probeer het: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , maar $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Correct: De regel maakt van een deling BINNEN de logaritme een aftrekking: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . Voor de breuk $\dfrac{\log M}{\log N}$ bestaat zo'n kortere weg niet.

$\log(M - N) = \log M - \log N$ schrijven

Waarom het fout is: De regel gaat over een quotiënt binnen de logaritme, niet over een verschil. Probeer het: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , maar $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Correct: Er is geen regel die $\log(M - N)$ splitst. Alleen $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ wordt $\log M - \log N$ .

In de verkeerde volgorde aftrekken: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Waarom het fout is: Aftrekken is niet commutatief, dus de volgorde telt. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , maar $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Correct: Eerst de teller, min de noemer: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

$\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$ schrijven

Waarom het fout is: Zowel $N$ als $P$ staan in de noemer, dus worden beide logaritmen afgetrokken. De $+$ behandelt $P$ alsof het in de teller staat.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Gebruik haakjes: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Waarom het belangrijk is

De quotiëntregel maakt van een deling een aftrekking, en dat is precies wat veel formules nodig hebben:

Twee metingen vergelijken: decibel, pH en de schaal van Richter vergelijken een grootheid met een referentiewaarde via $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . De quotiëntregel laat zien dat het verschil tussen twee niveaus alleen afhangt van de verhouding van de twee grootheden.
Geluid: twee geluiden waarvan de intensiteiten zich verhouden als $1000$ verschillen $10 \log 1000 = 30$ decibel, hoe hard ze ook zijn.
Scheikunde: twee oplossingen waarvan de concentraties waterstofionen een factor $100$ verschillen, liggen op de pH-schaal precies $2$ uit elkaar.
Uitdrukkingen vereenvoudigen: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ uitschrijven als $\log a + \log b - \log c$ maakt latere algebra (en analyse) veel makkelijker.
Vergelijkingen oplossen: $\log_3 x - \log_3 4$ samenvoegen tot $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ is vaak de eerste stap bij het oplossen van een logaritmische vergelijking.

Samen met de productregel en de machtsregel kun je met de quotiëntregel bijna elke logaritmische uitdrukking herschrijven in de vorm die je nodig hebt.

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveaus vergelijken in decibel

Het geluidsniveau is $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ decibel, met $I$ de intensiteit en $I_0$ een vaste referentie. Volgens de quotiëntregel is het verschil van twee niveaus $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: de referentie $I_0$ valt weg.

Voorbeeld:

Een geluid dat 100 keer zo intens is als een ander, is $10 \log 100 = 20$ decibel harder.

1Probeer het zelf

Een luidspreker geeft een intensiteit van $I_A = 0{,}01$ W/m², een rustige straat $I_B = 0{,}00001$ W/m².

Hoeveel decibel harder is de luidspreker dan de straat?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Zuurgraad vergelijken met de pH

In de scheikunde geldt $\text{pH} = -\log[H^+]$, met $[H^+]$ de concentratie waterstofionen. Volgens de quotiëntregel is het pH-verschil van twee oplossingen de logaritme van de verhouding van hun concentraties.

Voorbeeld:

Koffie heeft $[H^+] = 10^{-5}$ en zuiver water $10^{-7}$ . Het pH-verschil is $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 tegenover pH 7).

2Probeer het zelf

Tomatensap heeft $[H^+] = 10^{-4}$ en zuiver water heeft $[H^+] = 10^{-7}$ .

Hoeveel lager is de pH van tomatensap dan die van water?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Aardbevingen vergelijken op de schaal van Richter

De magnitude van Richter is $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, met $A$ de amplitude van de grondbeweging en $A_0$ een referentieamplitude. Voor twee aardbevingen gemeten op dezelfde afstand geeft de quotiëntregel $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Voorbeeld:

Heeft een aardbeving 10 keer de amplitude van een andere, dan is de magnitude $\log 10 = 1$ hoger.

3Probeer het zelf

Twee aardbevingen worden op dezelfde afstand gemeten. De eerste heeft amplitude $A_1 = 50000$ micrometer, de tweede $A_2 = 500$ micrometer. De tweede aardbeving heeft magnitude $4$ .

Wat is de magnitude van de eerste aardbeving?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Belangrijke punten

1Quotiëntregel: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ voor $M, N > 0$
2Ze volgt uit de rekenregel voor machten $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : bij het delen van machten trek je exponenten af
3Uitschrijven splitst de logaritme van een quotiënt in een verschil; samenvoegen maakt van een verschil één logaritme
4Eerst de teller: je trekt altijd de logaritme van de noemer af
5Met de productregel: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ en $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ en $\log(M - N)$ zijn NIET gelijk aan $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Veelgestelde vragen

Moeten beide logaritmen hetzelfde grondtal hebben?

Ja.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

werkt alleen als beide termen hetzelfde grondtal

b

hebben. Een verschil als

\log_2 8 - \log_3 9

kun je met deze regel niet samenvoegen tot één logaritme.

Wat gebeurt er als het quotiënt kleiner is dan 1?

Dan is de logaritme negatief (bij een grondtal groter dan 1), en de regel laat zien waarom:

\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3

. In het algemeen geldt

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Kan ik $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ uitschrijven?

Ja, voor

x > 2

\log x - \log(x - 2)

. Maar

\log(x - 2)

blijft zoals het is, want er bestaat geen regel voor de logaritme van een verschil.

Waarom heet het de tweelingregel van de productregel?

Delen door

N

is vermenigvuldigen met

\dfrac{1}{N}

, dus

\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N

. Elke stap met de quotiëntregel is eigenlijk een vermomde stap met de productregel.

Woordenlijst

Quotiëntregel: De rekenregel $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ voor $M, N > 0$
Quotiënt: De uitkomst van een deling; in $\dfrac{M}{N}$ is $M$ de teller en $N$ de noemer
Uitschrijven (splitsen): De logaritme van een product of quotiënt herschrijven als som of verschil van eenvoudigere logaritmen
Samenvoegen: Een som of verschil van logaritmen met hetzelfde grondtal schrijven als één logaritme
Argument: Het getal binnen een logaritme, zoals $M$ in $\log_b M$ ; het moet positief zijn

Formulekaart

Quotiëntregel

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Voor $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Omgekeerde

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Speciaal geval met $M = 1$, omdat $\log_b 1 = 0$

Met de productregel

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Factoren in de teller worden opgeteld, factoren in de noemer afgetrokken

Geen regel

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Een quotiënt van logaritmen is niet de logaritme van een quotiënt

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Quotiëntregel voor logaritmen

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveaus vergelijken in decibel

Zuurgraad vergelijken met de pH

Aardbevingen vergelijken op de schaal van Richter

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Quotiëntregel

Omgekeerde

Met de productregel

Geen regel

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)