Guía del profesor: Reconocimiento de patrones

Aprende a descubrir la regla de los patrones de números y figuras, a comprobarla en cada término y a predecir lo que viene después.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar la regla de patrones numéricos de suma, resta, multiplicación, alternos y con pasos crecientes
Continuar un patrón prediciendo los términos siguientes
Hallar el término 10 de un patrón de suma sin escribir todos los términos
Comprobar que una regla propuesta funciona para todos los términos de un patrón
Aplicar los patrones a calendarios, diseños de baldosas y al ahorro de dinero

Requisitos previos

• Introducción al razonamiento lógico: la diferencia entre razonamiento inductivo y deductivo
• Razonamiento deductivo: aplicar una regla general a un caso concreto
• Sumar, restar y multiplicar números naturales
• División con resto

Iniciadores de discusión

1. ¿Dónde ves patrones en tu día a día, en casa o en el colegio?
2. Si alguien te dice 2, 4, ... y te pregunta el siguiente número, ¿cuántas respuestas distintas podrían ser correctas?
3. ¿Por qué no basta con comprobar una regla en los dos primeros términos?
4. ¿Cómo podrías hallar el término 100 de 3, 7, 11, 15 sin escribir todos los términos?
5. ¿Puedes inventar un patrón que a un amigo le cueste adivinar? ¿Qué lo hace difícil?

Conceptos erróneos comunes

Todos los patrones numéricos son patrones de suma

Remediación: Muestra $3, 6, 12, 24$ junto a $3, 6, 9, 12$ . Pide a los alumnos que calculen las diferencias de ambos y vean que solo el segundo tiene diferencias iguales.

El término n es el primer término más n pasos

Remediación: Usa una escalera o una fila de sillas: ir de la silla 1 a la silla 10 lleva 9 pasos. Comprueba el método con un término ya conocido, como el 3.º.

Una regla que encaja con los dos primeros términos está demostrada

Remediación: Jugad a Adivina mi regla con 1, 2, ... y luego revela 4 (doblar) o 3 (sumar 1). Así aprenden a pedir más términos y a comprobar cada pareja.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con patrones de suma y escribir las diferencias en otro color
• Construir cada figura de un patrón de baldosas con fichas o baldosas
• Dar la regla y pedir solo el siguiente término antes de pedir la regla

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar patrones de suma, de multiplicación y alternos en una misma ficha
• Hallar el término 10 de patrones de suma y comprobarlo con un término conocido
• Resolver problemas de calendarios y de ahorro con patrones

Para estudiantes avanzados:

• Hallar el término 50 o el término 100 de un patrón de suma
• Trabajar con patrones cuyas diferencias crecen, como los cuadrados $1, 4, 9, 16$
• Crear sus propios acertijos de patrones con una regla oculta para la clase

Alineación con estándares

4.OA.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.C.5)
Generar un patrón de números o figuras que siga una regla dada e identificar características del patrón que no aparecen explícitamente en la regla
5.OA.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.5.OA.B.3)
Generar dos patrones numéricos a partir de dos reglas dadas e identificar relaciones entre los términos correspondientes
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Buscar y utilizar estructuras
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos

Recursos de la lección

visualVisualizador de sucesiones
Cambia el primer término y el paso y observa cómo crecen los términos y las barras
activityAdivina mi regla
Un alumno elige una regla en secreto y dice los términos uno a uno; la clase adivina la regla y la comprueba con el siguiente término
worksheetDetectives de patrones
Patrones variados en los que los alumnos escriben las diferencias, nombran la regla y hallan el término 10

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un patrón es una lista de números o figuras que sigue una regla. Cada elemento de la lista se llama término.

Para reconocer un patrón, fíjate en cómo cada término se convierte en el siguiente:

Patrón de suma: se suma siempre el mismo número. $5, 9, 13, 17$ (más $4$ )
Patrón de resta: se resta siempre el mismo número. $30, 25, 20, 15$ (menos $5$ )
Patrón de multiplicación: cada término se multiplica por el mismo número. $3, 6, 12, 24$ (por $2$ )
Patrón alterno: dos pasos se turnan. $10, 13, 11, 14, 12$ (más $3$ , menos $2$ )
Patrón con pasos crecientes: el propio paso va creciendo. $1, 2, 4, 7, 11$ (más $1$ , luego $2$ , luego $3$ , luego $4$ )
Patrón que se repite: un bloque se repite una y otra vez, como círculo, cuadrado, triángulo, círculo, cuadrado, triángulo

Una regla solo vale si funciona para todos los términos, no solo para los dos primeros. Encontrar una regla a partir de ejemplos es razonamiento inductivo; comprobarla en todos los términos te protege de errores.

Ejemplos resueltos

Encuentra la regla y los dos términos siguientes: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Calcula el cambio entre vecinos

$9 - 5 = 4$ , $13 - 9 = 4$ , $17 - 13 = 4$ → La diferencia siempre es $4$

Escribe la regla

Cada término es $4$ más que el anterior → Regla: empieza en $5$ , suma $4$

Usa la regla para continuar

$17 + 4 = 21$ , $21 + 4 = 25$ → $21$ y $25$

Respuesta: La regla es sumar $4$ . Los dos términos siguientes son $21$ y $25$ .

Errores comunes

Elegir una regla mirando solo los dos primeros términos

Por qué está mal: En $2, 4, 8, 16$ el primer salto es $+2$ , pero $4 + 2 = 6$ , no $8$ . Muchas reglas encajan con dos números.

Correcto: Comprueba la regla en cada pareja de vecinos. Aquí $\times 2$ funciona para todos: $2, 4, 8, 16$ .

Usar $10$ saltos para llegar al término 10

Por qué está mal: El primer término ya está ahí. Del término $1$ al término $10$ solo hay $9$ saltos.

Correcto: Término 10 $=$ primer término $+ 9 \times$ paso. Para $4, 7, 10, \ldots$ : $4 + 9 \times 3 = 31$ , no $4 + 10 \times 3 = 34$ .

Pensar que todos los patrones suman el mismo número

Por qué está mal: En $2, 6, 18, 54$ las diferencias son $4, 12, 36$ , así que no es un patrón de suma.

Correcto: Si las diferencias no son iguales, prueba a multiplicar (aquí $\times 3$ ), con pasos alternos o con diferencias crecientes.

Olvidar en qué punto estás en un patrón alterno

Por qué está mal: En $10, 13, 11, 14, 12, 15$ el siguiente paso depende del último. Si vuelves a usar $+3$ te sale $18$ , que es incorrecto.

Correcto: Escribe los cambios debajo de los términos ( $+3, -2, +3, \ldots$ ) y sigue el turno: $15 - 2 = 13$ .

Por qué es importante

Los patrones están en todas partes, y reconocerlos ahorra tiempo:

Calendarios: cada lunes de un mes cae $7$ días después del anterior, así que puedes encontrar cualquier fecha sin contar día a día
Baldosas y construcción: si cada nueva fila de un suelo necesita $3$ baldosas más, puedes calcular cuántas baldosas comprar
Ahorrar dinero: meter la misma cantidad en la hucha cada semana te permite predecir cuándo llegarás a tu meta
Música y arte: los ritmos y las cenefas son patrones que se repiten
Ciencia y ordenadores: los científicos buscan patrones en los datos, y a los ordenadores se les entrena para reconocer patrones en imágenes y sonidos

Reconocer patrones es el primer paso del razonamiento lógico: descubres una regla, la compruebas y luego la usas para predecir.

Aplicaciones del mundo real

Calendarios

El mismo día de la semana vuelve cada $7$ días, así que las fechas de ese día forman un patrón de suma.

Ejemplo:

Si el primer lunes de un mes es el día $3$ , los lunes son los días $3$ , $10$ , $17$ , $24$ y $31$ .

1Inténtalo tú mismo

El primer sábado de un mes es el día $6$ . Hay clases de natación todos los sábados.

¿Qué día es el 4.º sábado del mes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en $6$ y suma $3$ saltos de $7$ días:

Baldosas y patrones en la construcción

Los albañiles y los diseñadores usan patrones de baldosas en suelos, caminos y paredes, y necesitan saber cuántas baldosas lleva cada parte.

Ejemplo:

Un camino en el que cada tramo nuevo añade $2$ baldosas usa $6, 8, 10, 12, \ldots$ baldosas. Se puede predecir cualquier tramo sin dibujarlo.

2Inténtalo tú mismo

Un diseño de baldosas tiene $5$ baldosas en la figura 1, $8$ baldosas en la figura 2 y $11$ baldosas en la figura 3.

¿Cuántas baldosas tiene la figura 6?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en $5$ y suma $5$ saltos de $3$ :

Ahorrar dinero

Si ahorras la misma cantidad cada semana, el dinero de la hucha crece siguiendo un patrón de suma.

Ejemplo:

Con 10 dólares al principio y 4 dólares ahorrados cada semana, el total es de 14, 18, 22 y 26 dólares tras las semanas 1 a 4.

3Inténtalo tú mismo

Nora tiene 15 dólares en su hucha. Mete 5 dólares cada semana.

¿Cuánto dinero tendrá después de 8 semanas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Empieza en $15$ y suma $8$ saltos de $5$ :

Puntos clave

1Un patrón sigue una regla, y cada elemento se llama término
2Mira primero las diferencias entre vecinos: si son iguales, es un patrón de suma o de resta
3Si las diferencias no son iguales, prueba a multiplicar, con pasos alternos o con diferencias crecientes
4Una regla solo es correcta si funciona para todos los términos, no solo para los dos primeros
5Para hallar el término 10 de un patrón de suma, suma $9$ pasos al primer término
6En un patrón que se repite, divide la posición entre la longitud del bloque y usa el resto

Preguntas frecuentes

¿Cómo empiezo cuando veo un patrón nuevo?

Escribe debajo de la lista la diferencia entre cada pareja de términos vecinos. Si todas son iguales, tienes un patrón de suma o de resta. Si no, prueba a multiplicar o busca un patrón en las diferencias.

¿Puede un patrón tener más de una regla?

Con solo dos o tres términos, sí, pueden encajar varias reglas. Por eso necesitas suficientes términos y comprobar tu regla en todos. Con

2, 4

la regla podría ser

+2

\times 2

, pero

2, 4, 8

solo encaja con

\times 2

¿Por qué sumo 9 pasos y no 10 para hallar el término 10?

El primer término ya está en su sitio. Para ir del término

1

al término

10

das

9

saltos, igual que al subir del 1.er al 10.º peldaño de una escalera.

¿Cómo encuentro la figura número 20 de un patrón que se repite?

Cuenta las figuras de un bloque. En círculo, cuadrado, triángulo el bloque tiene

3

figuras.

20 \div 3 = 6

y resto

2

, así que la figura 20 es la 2.ª figura del bloque: un cuadrado.

Glosario

Patrón: Una lista de números o figuras que sigue una regla
Término: Cada elemento de un patrón; el 1.er término es el primer elemento, el 2.º término el siguiente, y así sucesivamente
Regla: La instrucción que dice cómo pasar de un término al siguiente, por ejemplo sumar $4$ o multiplicar por $2$
Diferencia: El resultado de restar un término al término siguiente, por ejemplo $9 - 5 = 4$
Patrón alterno: Un patrón en el que dos pasos distintos se turnan, por ejemplo $+3$ , $-2$ , $+3$ , $-2$
Patrón que se repite: Un patrón en el que se repite el mismo bloque de elementos, por ejemplo rojo, azul, rojo, azul

Tarjeta de fórmulas

Comprobar las diferencias

\text{diferencia} = \text{término siguiente} - \text{término}

Si todas las diferencias son iguales, el patrón suma (o resta) ese número

Término 10 de un patrón de suma

\text{término 10} = \text{término 1} + 9 \times \text{paso}

Del término 1 al término 10 hay 9 saltos

Posición en un patrón que se repite

\text{posición} \div \text{longitud del bloque} = \ldots \text{ resto } r

El resto $r$ te dice qué elemento del bloque es; resto $0$ significa el último elemento

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Calendarios

Baldosas y patrones en la construcción

Ahorrar dinero

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Comprobar las diferencias

Término 10 de un patrón de suma

Posición en un patrón que se repite

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