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Guide de l'enseignant: Additionner et soustraire des entiers

Apprends à additionner et soustraire des nombres positifs et négatifs en utilisant la droite numérique et les règles des signes.

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Quiz de classe

10 questions sur Nombres Négatifs. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Additionner deux entiers de même signe
  • Additionner deux entiers de signes différents
  • Soustraire des entiers en ajoutant l'opposé
  • Appliquer les opérations sur les entiers à des situations réelles
  • Expliquer pourquoi soustraire un négatif revient à additionner
Prérequis
  • • Compréhension des nombres positifs et négatifs
  • • Capacité à placer des entiers sur une droite numérique
  • • Connaissance de la valeur absolue
  • • Comparaison des entiers avec les symboles d'inégalité
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi 'soustraire un négatif' semble-t-il contre-intuitif au début ? Comment pouvons-nous lui donner du sens ?
  • 2. Peux-tu penser à une situation où tu devrais additionner deux nombres négatifs ?
  • 3. Si quelqu'un dit 'deux négatifs font un positif', est-ce toujours vrai ? Quand cette règle s'applique-t-elle ?
  • 4. Comment expliquerais-tu 5−8=−35 - 8 = -3 à un élève plus jeune en utilisant une histoire ?
Idées reçues courantes

Penser que 'deux négatifs font toujours un positif'

Remédiation: Clarifie que cette règle ne s'applique qu'à la multiplication ou division, ou quand on soustrait un négatif. (−3)+(−5)=−8(-3) + (-5) = -8, pas positif !

Confondre le signe de l'opération avec le signe du nombre

Remédiation: Utilise systématiquement les parenthèses. Écris 5+(−3)5 + (-3) et non 5+−35 + -3. Montre que le ++ est l'opération et −3-3 est un nombre négatif.

Oublier d'appliquer la règle des signes lors de la soustraction

Remédiation: Convertis toujours en addition d'abord. Fais pratiquer la règle 'Garder, Changer, Changer' - garde le premier nombre, change la soustraction en addition, change le signe du deuxième nombre.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Utilise des droites numériques physiques et des compteurs/jetons
  • • Commence uniquement avec des entiers à un chiffre
  • • Concentre-toi sur une règle à la fois (d'abord mêmes signes, puis différents)
  • • Utilise la méthode 'GCC' : Garder-Changer-Changer pour la soustraction

Pour les élèves au niveau:

  • • Travaille avec des entiers à deux chiffres
  • • Résous des problèmes à plusieurs étapes avec des opérations mixtes
  • • Fais inventer aux élèves leurs propres situations du quotidien
  • • Fais-les s'entraîner sans le support de la droite numérique

Pour les élèves avancés:

  • • Travaille avec trois entiers ou plus dans une expression
  • • Explore les opérations d'entiers avec des décimaux
  • • Résous des équations impliquant addition/soustraction d'entiers
  • • Étudie les régularités dans les sommes d'entiers
Alignement aux standards
  • 7.NS.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1)

    Appliquer et étendre les connaissances préalables sur l'addition et la soustraction pour additionner et soustraire des nombres rationnels

  • 7.NS.A.1.B (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1.B)

    Comprendre que p + q est le nombre situé à une distance |q| de p, dans la direction positive ou négative

  • 7.NS.A.1.C (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.1.C)

    Comprendre que la soustraction de nombres rationnels revient à ajouter l'inverse additif, p - q = p + (-q)

Ressources de la leçon
  • visualDroite numérique interactive

    Les élèves s'exercent à se déplacer à gauche (soustraire) et à droite (additionner)

  • activityModèle de jetons entiers

    Utilise des jetons bicolores pour modéliser addition et soustraction

  • gameJeu de cartes Guerre des entiers

    Les élèves tirent des cartes et calculent sommes/différences

  • worksheetProblèmes d'entiers du quotidien

    Scénarios de température, altitude et argent

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Additionner des entiers signifie combiner des nombres positifs et négatifs. Soustraire des entiers signifie trouver la différence, ce qu'on peut réécrire comme l'addition de l'opposé.
La valeur absolue ∣a∣|a| est la distance de aa à zéro : ∣−5∣=5|-5| = 5 et ∣5∣=5|5| = 5.

Règles importantes

Additionner des entiers

  • Mêmes signes : Additionne les valeurs absolues, garde le signe
  • 5+3=85 + 3 = 8 (tous deux positifs)
  • (−5)+(−3)=−8(-5) + (-3) = -8 (tous deux négatifs)
  • Signes différents : Soustrais la plus petite valeur absolue de la plus grande, garde le signe de la plus grande
  • 5+(−3)=25 + (-3) = 2 (positif l'emporte)
  • (−5)+3=−2(-5) + 3 = -2 (négatif l'emporte)

Soustraire des entiers

  • Soustraire = additionner l'opposé : a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
  • 5−3=5+(−3)=25 - 3 = 5 + (-3) = 2
  • 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8
  • (−5)−3=(−5)+(−3)=−8(-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8

Exemples résolus

Calcule (−4)+(−7)(-4) + (-7)
1

Identifie les signes

Les deux nombres sont négatifs → Mêmes signes
2

Additionne les valeurs absolues

∣−4∣+∣−7∣=4+7=11|-4| + |-7| = 4 + 7 = 11 → La somme est 11
3

Applique le signe commun

Tous deux négatifs, donc le résultat est négatif → −11-11

Erreurs courantes

Penser que 5−(−3)=25 - (-3) = 2 au lieu de 88

Pourquoi c'est faux: Oublier que soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : le signe de la soustraction et le signe négatif donnent ensemble un plus.

Correct: 5−(−3)=5+3=85 - (-3) = 5 + 3 = 8. Soustraire −3-3 est la même chose qu'ajouter 33.

Écrire (−4)+(−6)=−2(-4) + (-6) = -2 au lieu de −10-10

Pourquoi c'est faux: Soustraire par erreur au lieu d'additionner quand les deux nombres sont négatifs.

Correct: Mêmes signes signifie ADDITIONNER les valeurs absolues : 4+6=104 + 6 = 10, puis garder le signe moins : −10-10.

Obtenir le mauvais signe en soustrayant, par exemple 3−8=53 - 8 = 5

Pourquoi c'est faux: Oublier de vérifier quel nombre a la plus grande valeur absolue.

Correct: 3−8=3+(−8)=−53 - 8 = 3 + (-8) = -5 car 8>38 > 3 et on garde le signe négatif.

Confondre −5+3-5 + 3 avec −5−3-5 - 3

Pourquoi c'est faux: Ne pas lire attentivement le signe de l'opération.

Correct: −5+3=−2-5 + 3 = -2 (aller à droite sur la droite numérique), mais −5−3=−8-5 - 3 = -8 (aller à gauche).

Pourquoi c'est important

Les opérations sur les entiers sont essentielles dans la vie quotidienne :
  • Changements de température : S'il fait −3°C-3°C et que ça baisse de 5 degrés : −3+(−5)=−8°C-3 + (-5) = -8°C
  • Argent et dettes : Tu dois 50€ et tu empruntes 30€ de plus : (−50)+(−30)=−80(-50) + (-30) = -80, soit une dette de 80€
  • Ascenseurs : Du 2ème étage, descendre de 5 étages : 2+(−5)=−32 + (-5) = -3 (sous-sol 3)
  • Football américain : Une équipe gagne 8 yards puis en perd 12 : 8+(−12)=−48 + (-12) = -4 yards au total
Comprendre ces opérations est la base de l'algèbre !

Applications dans le monde réel

Transactions bancaires

Les banques utilisent les opérations sur les entiers pour suivre les dépôts (positifs) et les retraits (négatifs).

Exemple:

Si tu as 120€ sur ton compte, que tu retires 85€ puis déposes 40€ : 120+(−85)+40=75120 + (-85) + 40 = 75€.

1Essaie par toi-même

Ton compte bancaire affiche −45-45€ (découvert). Tu déposes 80€.

Quel est ton nouveau solde ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : −45+80-45 + 80

Altitude et profondeur

Les pilotes et plongeurs utilisent les entiers pour mesurer l'altitude au-dessus du niveau de la mer (positif) ou la profondeur en dessous (négatif).

Exemple:

Un sous-marin à −80-80 mètres plonge de 25 mètres de plus : −80+(−25)=−105-80 + (-25) = -105 mètres.

2Essaie par toi-même

Un sous-marin est à −120-120 mètres. Il remonte de 75 mètres vers la surface.

Quelle est la nouvelle profondeur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : −120+75-120 + 75

Scores de jeux

De nombreux jeux comptent les gains et les pertes comme des points positifs et négatifs.

Exemple:

Dans un jeu de quiz, tu gagnes 50 points, en perds 30, puis en gagnes 45 : 50+(−30)+45=6550 + (-30) + 45 = 65 points.

3Essaie par toi-même

Ton score de jeu est de −15-15 points (dans le négatif). Tu réponds correctement et gagnes 40 points, puis incorrectement et en perds 10.

Quel est ton score final ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : −15+40+(−10)-15 + 40 + (-10)

Points clés

  • 1Mêmes signes : Additionne les valeurs absolues et garde le signe commun (−4+(−3)=−7-4 + (-3) = -7)
  • 2Signes différents : Soustrais les valeurs absolues et garde le signe du plus grand (−4+7=3-4 + 7 = 3)
  • 3Soustraire = additionner l'opposé : a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)
  • 4Double négatif : a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b
  • 5Utilise une droite numérique : à droite c'est positif, à gauche c'est négatif

Questions fréquentes

Pourquoi soustraire un nombre négatif revient-il à ajouter ?

Imagine supprimer une dette. Si tu dois 5€ (−5-5) et que quelqu'un annule cette dette (soustrait −5-5), tu gagnes 5€. 0−(−5)=0+5=50 - (-5) = 0 + 5 = 5. Soustraire négatif = ajouter positif !

Comment savoir quel signe aura la réponse ?

Pour l'addition avec des signes différents, la réponse a le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue. −8+5=−3-8 + 5 = -3 car ∣−8∣=8>5=∣5∣|-8| = 8 > 5 = |5|, donc la réponse est négative.

Y a-t-il une astuce rapide pour soustraire des entiers ?

Oui ! Change la soustraction en addition et inverse le signe du deuxième nombre. Puis suis les règles de l'addition. Exemple : 7−(−3)7 - (-3) devient 7+3=107 + 3 = 10.

Glossaire

Entier
Un nombre sans partie décimale qui peut être positif, négatif ou zéro (ex : −5-5, 00, 1212)
Valeur absolue
La distance d'un nombre à zéro, jamais négative (ex : ∣−7∣=7|-7| = 7, ∣0∣=0|0| = 0)
Opposé
Un nombre à la même distance de zéro mais de l'autre côté (ex : l'opposé de −3-3 est 33)
Inverse additif
Un autre nom pour l'opposé ; un nombre plus son inverse additif égale zéro (5+(−5)=05 + (-5) = 0)

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