Guía del profesor: Falacias lógicas comunes

Aprende a detectar y corregir las falacias lógicas más comunes, desde la afirmación del consecuente hasta confundir correlación y causalidad, con ejemplos matemáticos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Razonamiento lógico. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Distinguir las formas válidas de la afirmación del consecuente y la negación del antecedente
Identificar falacias informales comunes en argumentos escritos y explicar el error
Usar un contraejemplo para mostrar que una conclusión no se deduce
Reconocer estadísticas engañosas: totales en lugar de tasas, muestras pequeñas y correlación presentada como causalidad
Reescribir un argumento falaz para que sea válido u honesto

Requisitos previos

• Enunciados condicionales (si... entonces): hipótesis, conclusión y la tabla de verdad de $p \to q$
• Recíproca e inversa: por qué una afirmación verdadera puede tener una recíproca falsa
• Contrarrecíproca: la forma equivalente $\neg q \to \neg p$
• Porcentajes y tasas, como $\frac{90}{120} \times 100$

Iniciadores de discusión

1. Si llueve, la calle está mojada. La calle está mojada. ¿Ha llovido? ¿Qué otra cosa pudo pasar?
2. ¿Puede un argumento con una falacia tener aun así una conclusión verdadera? Pon un ejemplo.
3. Busca un titular que compare totales. ¿Qué número necesitarías para una comparación justa?
4. ¿Cuándo es razonable confiar en un experto y cuándo se convierte en una falacia de autoridad?

Conceptos erróneos comunes

Si la conclusión es verdadera, el argumento tiene que ser válido

Remediación: Muestra un argumento no válido con conclusión verdadera: si un número es divisible entre 6, entonces es par. 12 es par, así que 12 es divisible entre 6. La conclusión es verdadera, pero la misma forma da un resultado falso con 14.

Una correlación fuerte demuestra que una cosa causa la otra

Remediación: Usa las ventas de helados y las quemaduras de sol: las dos suben en verano. Pide a los alumnos que nombren el tercer factor oculto (el tiempo soleado) antes de hablar de experimentos controlados.

Si algo ha funcionado muchas veces, funcionará siempre

Remediación: Deja que los alumnos calculen $2^n - 1$ con la calculadora para $n = 2, 3, 5, 7$ , pide una conjetura y luego revela $n = 11$ y los factores $23 \times 89$ . La sorpresa hace que la idea se quede.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una tabla con las cuatro formas y pedir que asocien cada argumento a una fila
• Empezar con argumentos de la vida diaria antes de pasar a los números
• Dar el contraejemplo y pedir que expliquen por qué rompe el argumento

Para estudiantes de nivel:

• Nombrar la falacia en diez argumentos cortos y escribir una versión corregida de cada uno
• Calcular tasas a partir de datos de noticias y decidir si un titular es justo
• Usar la tabla de verdad de $p \to q$ para explicar por qué falla la afirmación del consecuente

Para estudiantes avanzados:

• Investigar una afirmación estadística real e identificar posibles variables de confusión
• Encontrar con la calculadora el siguiente primo $n$ después de 11 para el que $2^n - 1$ no es primo
• Escribir un breve discurso de debate sin ninguna de las falacias de la lección y que lo revisen los compañeros

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Distinguir entre correlación y causalidad
HSS.IC.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.6)
Evaluar informes basados en datos

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos encuentran la fila de $p \to q$ en la que las dos premisas son verdaderas pero $p$ es falso
activityDetectives de falacias
Los grupos recopilan anuncios y titulares, nombran la falacia y reescriben la afirmación de forma honesta
worksheet¿Válido o falacia?
Clasificar 12 argumentos en modus ponens, modus tollens, afirmación del consecuente y negación del antecedente

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una falacia es un error de razonamiento: la conclusión no se deduce de las premisas, aunque el argumento suene convincente. Hay dos familias.

1. Las falacias formales son errores en la forma de un argumento. Dos de ellas surgen de los condicionales

p \to q

. Compáralas con las dos formas válidas:

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Forma} & \text{Premisas} & \text{Conclusión} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{válido} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{válido} \\ \text{Afirmación del consecuente} & p \to q,\ q & p & \text{no válido} \\ \text{Negación del antecedente} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{no válido} \end{array}

La afirmación del consecuente es el error de la recíproca (

q \to p

), y la negación del antecedente es el error de la inversa (

\neg p \to \neg q

). La tabla de verdad muestra por qué fallan: en la fila donde

p

es F (falso) y

q

es T (verdadero), el condicional

p \to q

es verdadero y

q

es verdadero, así que las dos premisas son verdaderas, pero

p

es falso. (La tabla interactiva comprueba el error de la recíproca: su última columna vale F justo en esta fila. Escribe V para verdadero y F para falso.)

2. Las falacias informales son errores en el contenido de un argumento:

Falacia ad hominem: atacar a la persona en lugar de su argumento.
Hombre de paja: cambiar la afirmación del otro por una versión más débil y atacar esa.
Falso dilema: ofrecer solo dos opciones cuando hay más.
Generalización apresurada: una regla general sacada de muy pocos casos.
Razonamiento circular: la conclusión está escondida en las premisas.
Pendiente resbaladiza: afirmar que un pequeño paso llevará sin remedio a un desastre.
Falacia de autoridad: algo es verdad porque lo dijo una persona famosa o poderosa.
Correlación y causalidad: dos cosas ocurren juntas, así que una causaría la otra.

Importante: una falacia muestra que el argumento no demuestra su conclusión. La conclusión en sí puede ser verdadera o falsa.

Ejemplos resueltos

Argumento: si un número es divisible entre 6, entonces es par. 14 es par. Por lo tanto, 14 es divisible entre 6. ¿Es válido el argumento?

Nombra las partes

$p$ : el número es divisible entre 6. $q$ : el número es par. → Regla: $p \to q$

Averigua qué parte se da

Nos dicen que 14 es par, así que se da la conclusión $q$ , y el argumento deduce $p$ . → Forma: $p \to q,\ q$ , por lo tanto $p$

Compara con las formas válidas

El modus ponens necesita $p$ como premisa, no $q$ . Esto es una afirmación del consecuente. → Forma no válida

Comprueba con un cálculo

$14 \div 6 = 2$ resto $2$ → 14 no es divisible entre 6

Respuesta: El argumento no es válido: afirma el consecuente. 14 es par pero no es divisible entre 6, así que aquí la conclusión es incluso falsa.

Errores comunes

Pensar que una falacia demuestra que la conclusión es falsa

Por qué está mal: Una falacia solo muestra que el argumento no demuestra su conclusión. Toma la regla: si $x = 2$ , entonces $x^2 = 4$ . Concluir $x = 2$ a partir de $x^2 = 4$ no es válido, y aun así $x$ podría ser $2$ .

Correcto: Di que la conclusión no se deduce. Para mostrar que es falsa necesitas un contraejemplo, aquí $x = -2$ .

Confundir la afirmación del consecuente con el modus ponens

Por qué está mal: Los dos usan $p \to q$ y se parecen. La diferencia está en qué parte se da como premisa.

Correcto: Si se da $p$ , puedes concluir $q$ (válido). Si se da $q$ , no puedes concluir $p$ (afirmación del consecuente).

Tomar muchos ejemplos como una demostración

Por qué está mal: Comprobar 3 casos, o incluso 100, sigue siendo una generalización apresurada si la afirmación habla de todos los números.

Correcto: Usa los ejemplos para plantear una conjetura y luego demuéstrala con un argumento que cubra todos los casos, o encuentra un contraejemplo.

Llamar falacia de autoridad a cualquier mención de un experto

Por qué está mal: Citar a un experto adecuado junto con pruebas es normal. La falacia es usar un nombre en lugar de pruebas, sobre todo fuera del campo de esa persona.

Correcto: Pregúntate: ¿es esta persona experta justo en este tema, y qué pruebas apoyan la afirmación?

Por qué es importante

Las falacias están por todas partes, y muchas se esconden detrás de números:

Matemáticas: comprobar una fórmula en 4 casos no es una demostración. Para los primos $n = 2, 3, 5, 7$ , el número $2^n - 1$ es primo, pero para $n = 11$ da $2047 = 23 \times 89$ .
Noticias y estadística: los titulares a menudo convierten una correlación en una causa, o dan grandes totales sin dividir entre la población.
Publicidad: ¡A 8 de cada 10 usuarios les encantó! suena fuerte hasta que descubres que solo se preguntó a 10 personas.
Debates y redes sociales: los ataques personales y los hombres de paja sustituyen a los argumentos reales, y los falsos dilemas esconden opciones mejores.
Ciencia: los investigadores usan grupos de control precisamente porque correlación no es causalidad.

En cuanto sabes nombrar una falacia, puedes explicar exactamente qué falta y cómo arreglar el argumento.

Aplicaciones del mundo real

Afirmaciones publicitarias

La publicidad adora los porcentajes y las caras famosas. Una muestra pequeña y un famoso son una generalización apresurada y una falacia de autoridad trabajando juntas.

Ejemplo:

Un anuncio dice: ¡El 80 % de los usuarios sacó mejores notas, lo dice un futbolista famoso! El jugador no es experto en aprendizaje, y el 80 % puede venir de muy pocas personas.

1Inténtalo tú mismo

Una aplicación de estudio tiene 5000 usuarios. El 80 % del anuncio sale de una encuesta a 10 usuarios, de los que 8 respondieron que sí.

¿Qué porcentaje de todos los usuarios fue realmente encuestado?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la parte de usuarios encuestados, como porcentaje:

Titulares y totales

Los titulares suelen comparar totales sin dividir entre el tamaño del grupo. Las ciudades grandes tienen totales grandes de casi todo.

Ejemplo:

La ciudad A tiene 4000 muertes al año y la ciudad B solo 300, así que un titular dice: la ciudad A es mucho más peligrosa. Pero la ciudad A tiene 2000000 de habitantes y la ciudad B 100000.

2Inténtalo tú mismo

Ciudad A: 2000000 de habitantes, 4000 muertes al año. Ciudad B: 100000 habitantes, 300 muertes al año. Compara las tasas por cada 1000 habitantes.

¿Qué ciudad tiene la tasa de mortalidad más alta por cada 1000 habitantes?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la tasa por cada 1000 habitantes de la ciudad A:

Estadísticas de seguridad vial

Una afirmación famosa dice que la mayoría de los accidentes ocurren cerca de casa, así que conducir cerca de casa es peligroso. Ignora la tasa base: cuánto se conduce cerca de casa.

Ejemplo:

Si el 85 % de todos los kilómetros se recorren cerca de casa, esperaríamos allí cerca del 85 % de los accidentes, aunque el riesgo fuera igual en todas partes.

3Inténtalo tú mismo

En una región, 700 de cada 1000 accidentes ocurren a menos de 10 km de casa, y el 85 % de toda la conducción se hace a menos de 10 km de casa.

¿Muestran los datos que conducir cerca de casa es más peligroso?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el número de accidentes esperados cerca de casa si el riesgo fuera igual en todas partes:

Puntos clave

1Una falacia es un error de razonamiento: la conclusión no se deduce de las premisas
2La afirmación del consecuente ( $p \to q$ , $q$ , por lo tanto $p$ ) y la negación del antecedente ( $p \to q$ , $\neg p$ , por lo tanto $\neg q$ ) son formas no válidas
3El modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , por lo tanto $q$ ) y el modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , por lo tanto $\neg p$ ) son las formas válidas
4Entre las falacias informales están la falacia ad hominem, el hombre de paja, el falso dilema, la generalización apresurada, el razonamiento circular, la pendiente resbaladiza y la falacia de autoridad
5Correlación no es causalidad: busca un tercer factor y compara tasas, no totales
6Los ejemplos nunca demuestran una regla general, pero un solo contraejemplo la refuta

Preguntas frecuentes

Si un argumento tiene una falacia, ¿su conclusión es falsa?

No necesariamente. La falacia muestra que el argumento no demuestra la conclusión. Esta puede ser verdadera por otras razones, así que necesitas un contraejemplo para mostrar que es falsa.

¿Cuál es la diferencia entre una falacia formal y una informal?

Una falacia formal es incorrecta por su estructura, sea cual sea el tema: la afirmación del consecuente no es válida con números, con el tiempo atmosférico ni con nada. Una falacia informal es incorrecta por su contenido, como una opción olvidada o un ataque a una persona.

¿Cuántos casos tengo que comprobar para demostrar una regla?

Ningún número de casos basta para una regla sobre infinitos números.

2^n - 1

es primo para los primos

n = 2, 3, 5, 7

y aun así falla para

n = 11

. Los ejemplos te ayudan a conjeturar, y una demostración da la certeza.

¿Cómo distingo correlación de causalidad?

Hazte tres preguntas: ¿podría un tercer factor causar ambas cosas?, ¿podría la causa ir en sentido contrario?, ¿hubo un experimento controlado? Sin una comparación justa, una correlación solo muestra que dos cosas ocurren juntas.

Glosario

Falacia: Un error de razonamiento que hace que un argumento no demuestre su conclusión
Falacia formal: Un error en la forma de un argumento, como la afirmación del consecuente
Falacia informal: Un error en el contenido de un argumento, como un hombre de paja o un falso dilema
Afirmación del consecuente: La forma no válida $p \to q$ , $q$ , por lo tanto $p$
Negación del antecedente: La forma no válida $p \to q$ , $\neg p$ , por lo tanto $\neg q$
Variable de confusión: Un tercer factor oculto que influye en dos cosas y hace que parezcan relacionadas

Tarjeta de fórmulas

Modus ponens (válido)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

Se da la hipótesis, así que la conclusión se deduce

Modus tollens (válido)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

La conclusión es falsa, así que la hipótesis es falsa

Afirmación del consecuente (no válido)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

El error de la recíproca: $q$ puede ser verdadera mientras $p$ es falsa

Negación del antecedente (no válido)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

El error de la inversa: $q$ puede ser verdadera mientras $p$ es falsa

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Afirmaciones publicitarias

Titulares y totales

Estadísticas de seguridad vial

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Modus ponens (válido)

Modus tollens (válido)

Afirmación del consecuente (no válido)

Negación del antecedente (no válido)

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